Вероятность окончания номера двумя чётными цифрами¶

Вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами, равна 1/4 (0,25 или 25 %) — при равновероятном выборе каждой из цифр. Это прямое следствие элементарных правил комбинаторики: вероятность того, что одна произвольная цифра является чётной, равна 1/2, а вероятность двух независимых событий «цифра чётная» в двух позициях равна произведению соответствующих вероятностей.

¶Математическая модель

¶Допущения

Расчёт опирается на стандартные предположения:

• каждая из десяти цифр (0–9) в каждой позиции номера может встречаться с одинаковой вероятностью 1/10;
• выбор цифр в разных позициях независим;
• под «чётными цифрами» понимаются 0, 2, 4, 6, 8 — всего пять из десяти цифр.

¶Расчёт

Для одной позиции:

$$P(\text{чётная}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.$$

Для двух последних позиций номера (единицы и десятки последней пары цифр), поскольку выборы независимы:

$$P(\text{обе чётные}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25.$$

¶Комбинаторный подход

Если рассматривать все возможные комбинации двух последних цифр, их всего 10 × 10 = 100 (от 00 до 99). Комбинации, в которых обе цифры чётные, образуются пятью вариантами для каждой позиции, то есть 5 × 5 = 25. Следовательно:

$$P = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}.$$

Оба метода дают одинаковый результат.

¶Точность модели на практике

В реальных телефонных планах нумерации последние цифры номера, как правило, распределяются равномерно: абонентские номера внутри кода оператора выдаются последовательно или произвольно, и никакой систематической привязки к чётности последней цифры не существует. Поэтому модель равновероятного выбора для последних позиций номера обычно хорошо приближает действительность.

Ограничения модели связаны с тем, что:

• в некоторых национальных планах нумерации отдельные значения первой цифры абонентского номера зарезервированы (например, номера, начинающиеся с 0, могут использоваться для междугородных вызовов, а с 1 — для служб экстренной помощи и специальных сервисов);
• последние две цифры номера, однако, почти всегда могут принимать любые значения, поэтому для «окончания номера» допущение о равномерности остаётся обоснованным.

¶Обобщение

Рассуждение обобщается на произвольное число последних цифр. Вероятность того, что последние k цифр номера — все чётные:

$$P_k = \left(\frac{1}{2}\right)^k.$$

Аналогично можно рассматривать условия «все цифры нечётные», «все цифры меньше 5» (вероятность для одной позиции 1/2) и другие события, определяемые подмножествами цифр.

¶Связанные задачи

Рассматриваемая задача — частный случай классических задач на вероятность независимых событий, изучаемых в курсе школьной математики и вводного курса теории вероятностей. Типичные варианты:

• вероятность того, что номер оканчивается на чётную цифру (1/2);
• вероятность того, что номер оканчивается на заданную конкретную цифру, например на 7 (1/10);
• вероятность того, что номер содержит хотя бы одну чётную цифру в заданных двух позициях (1 − 1/4 = 3/4);
• вероятность того, что сумма двух последних цифр чётная (1/2).

Последняя задача иллюстрирует, что чётность суммы двух цифр определяется лишь парностью каждой из слагаемых, поэтому вероятность чётной суммы совпадает с вероятностью того, что обе цифры чётные или обе нечётные: 1/4 + 1/4 = 1/2.

¶История и контекст

Задачи на расчёт вероятности окончания различных записей (номеров, дат, чисел) известны с XVII века, когда Паскаль и Ферма заложили основы теории вероятностей, решая задачи азартных игр. Формализация равномерного распределения на конечных множествах, применяемая в расчёте выше, восходит к работам Якоба Бернулли («Ars Conjectandi», 1713) и стала классической частью учебных курсов по вероятностям.

Источники:

• Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. — М.: Мир.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука.
• Статистические стандарты нумерации телефонов (ITU-T Recommendation E.164).