Волновое число в физике и математике¶

Волновое число — скалярная физическая и математическая величина, характеризующая пространственную периодичность волнового процесса. Численно равна числу длин волн, укладывающихся на отрезке длиной 2π (в угловой форме) либо на единице длины (в обычной форме). Широко применяется в оптике, акустике, квантовой механике, теории электромагнитных волн и спектроскопии.

¶Определение и основные формы

Для гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x, смещение описывается выражением вида A·cos(ωt − kx + φ), где ω — круговая (угловая) частота, t — время, φ — начальная фаза, а k — волновое число. Из условия периодичности по координате следует связь с длиной волны λ:

• Угловое (круговое) волновое число: k = 2π / λ. Единица измерения в СИ — радиан на метр (рад/м); поскольку радиан безразмерен, формально это обратный метр (м⁻¹).
• Обычное (спектроскопическое) волновое число: ν̃ = 1 / λ. Единица — обратный сантиметр (см⁻¹), реже обратный метр. Именно эту величину в инфракрасной и Раман-спектроскопии называют «волновым числом» по традиции.

Различие двух форм — источник частой путаницы. В теоретической физике под волновым числом почти всегда понимают величину k = 2π/λ, тогда как в экспериментальной спектроскопии — обратную длину волны. Связь между ними: k = 2π·ν̃.

¶Связь с частотой и скоростью

Для волны, распространяющейся со скоростью v (фазовой скоростью), справедливы соотношения:

Зависимость ω(k) называется законом дисперсии и определяет, как среда «откликается» на разные пространственные масштабы. В вакууме для электромагнитных волн ω = c·k (линейный закон, дисперсии нет). В средах с дисперсией зависимость нелинейна, что приводит к разной скорости распространения волн различных длин.

¶Волновой вектор

В трёхмерном случае вводится волновой вектор k, направленный вдоль направления распространения волны, а его модуль равен волновому числу. Плоская волна записывается как A·cos(ωt − k·r + φ), где r — радиус-вектор точки. Компоненты волнового вектора — это пространственные частоты вдоль соответствующих осей. В анизотропных средах (например, в кристаллах) направление волнового вектора может не совпадать с направлением переноса энергии (лучевым вектором).

¶Волновое число в квантовой механике

В квантовой теории волновое число связано с импульсом частицы через соотношение де Бройля: p = ħ·k, где ħ — приведённая постоянная Планка. Это одна из ключевых формул волновой механики. Для свободной частицы энергия выражается через волновое число: E = ħ²k²/(2m), что соответствует параболическому закону дисперсии.

В кристаллической физике роль волнового числа играет квазиимпульс (волновой вектор в зоне Бриллюэна). Энергетический спектр электрона в периодическом потенциале решётки описывается зависимостью E(k) — зонной структурой. Границы зон Бриллюэна задаются условиями дифракции и определяют, какие значения k физически различимы.

¶Применение

• Спектроскопия. В инфракрасной спектроскопии и спектроскопии комбинационного рассеяния положение полос поглощения принято выражать в обратных сантиметрах. Например, колебание связи O–H в воде даёт полосу около 3400 см⁻¹.
• Оптика и фотоника. Волновое число используется при описании интерференции, дифракции, распространения света в волноводах и фотонных кристаллах.
• Акустика. Через k описывают распространение звука, ультразвуковую диагностику, сейсмические волны.
• Радиофизика и связь. Волновое число фигурирует в теории антенн, распространения радиоволн в ионосфере и тропосфере.
• Физика плазмы. Дисперсионные соотношения плазменных волн записываются через k и ω.

¶Дисперсионные соотношения и примеры

Закон дисперсии определяет поведение волнового пакета. Групповая скорость v_g = dω/dk описывает перенос энергии, фазовая v = ω/k — движение гребней. В средах с нормальной дисперсией v_g < v, с аномальной — соотношение меняется.

Примеры дисперсионных законов:

• Электромагнитная волна в вакууме: ω = c·k.
• Волна на глубокой воде: ω = √(g·k), где g — ускорение свободного падения.
• Плазменные колебания: ω² = ω_p² + c²k², где ω_p — плазменная частота.
• Фононы в твёрдом теле: ω = 2·√(K/m)·|sin(ka/2)|, где a — период решётки.

¶Историческая справка и терминология

Понятие волнового числа сформировалось в XIX веке в работах по волновой оптике и акустике. В русскоязычной литературе термин закрепился как калька с немецкого Wellenzahl и английского wavenumber. В спектроскопии, особенно после развития инфракрасной техники в середине XX века, утвердилась практика измерения волновых чисел в см⁻¹, что удобно для описания колебательных переходов молекул.

Отдельно следует отличать волновое число от пространственной частоты (числа периодов на единицу длины, равной 1/λ) и от частоты (числа колебаний в единицу времени). Совпадение численного значения обратной длины волны и пространственной частоты не означает тождества понятий: первая измеряется в м⁻¹ и часто выражается через 2π, вторая — строго в циклах на метр.

¶Значение

Волновое число — универсальный параметр, связывающий пространственную и временную структуру волновых процессов. Через него формулируются законы дисперсии, условия дифракции (Брэгга, Вульфа — Брэгга), критерии распространения волн в волноводах и границы применимости геометрической оптики. В квантовой механике волновое число напрямую связано с импульсом, что делает его одним из базовых понятий современной физики.

Источники: учебники по общей физике (И. В. Савельев, Д. В. Сивухин), курсы по оптике и квантовой механике, справочники по спектроскопии, материалы по теории волн и дисперсии.