Выборочное стандартное отклонение

Выборочное стандартное отклонение — это статистический показатель, характеризующий степень разброса (вариации) значений случайной величины относительно её среднего арифметического в выборке. В отличие от генерального стандартного отклонения, которое рассчитывается для всей совокупности данных, выборочное стандартное отклонение используется для оценки неизвестного параметра генеральной совокупности на основе ограниченного числа наблюдений. Является квадратным корнем из выборочной дисперсии.

Определение и формула

Выборочное стандартное отклонение обозначается латинской буквой \( s \) (или \( \sigma_{n-1} \)) и вычисляется по формуле:

\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]

где:

• \( n \) — объём выборки (количество наблюдений);
• \( x_i \) — i-е значение в выборке;
• \( \bar{x} \) — выборочное среднее арифметическое;
• \( \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \) — сумма квадратов отклонений каждого наблюдения от среднего.

Ключевое отличие от генерального стандартного отклонения (\( \sigma \)) заключается в делении суммы квадратов на \( n-1 \), а не на \( n \). Этот коэффициент называется поправкой Бесселя.

Свойства

Размерность и интерпретация

Выборочное стандартное отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и исходные данные. Например, если выборка содержит рост людей в сантиметрах, то \( s \) также будет измеряться в сантиметрах. Это отличает его от дисперсии, которая выражается в квадратных единицах.

Чувствительность к выбросам

Показатель сильно подвержен влиянию резко выделяющихся значений (выбросов). Даже одно экстремальное значение может существенно увеличить \( s \), так как его квадрат отклонения входит в сумму.

Связь с выборочным средним

При увеличении объёма выборки \( n \) выборочное стандартное отклонение стремится к генеральному стандартному отклонению (\( s \to \sigma \)). Однако при малых выборках (менее 30 наблюдений) \( s \) может заметно отклоняться от истинного значения.

Поправка Бесселя

Причина использования

Если бы выборочную дисперсию вычисляли делением на \( n \), то полученная оценка была бы смещённой — в среднем она систематически занижала бы истинную дисперсию генеральной совокупности. Деление на \( n-1 \) исправляет это смещение: математическое ожидание выборочной дисперсии становится равным генеральной дисперсии.

Степени свободы

Число \( n-1 \) в знаменателе соответствует числу степеней свободы выборки. При вычислении выборочного среднего \( \bar{x} \) одно из значений выборки становится зависимым от остальных (так как сумма отклонений от среднего всегда равна нулю). Поэтому независимых отклонений остаётся \( n-1 \).

Пример вычисления

Рассмотрим выборку из пяти значений: 2, 4, 4, 5, 7.

1. Вычисляем выборочное среднее: \( \bar{x} = \frac{2+4+4+5+7}{5} = 4,4 \).
2. Находим квадраты отклонений:

• \( (2-4,4)^2 = 5,76 \)
• \( (4-4,4)^2 = 0,16 \)
• \( (4-4,4)^2 = 0,16 \)
• \( (5-4,4)^2 = 0,36 \)
• \( (7-4,4)^2 = 6,76 \)

1. Сумма квадратов: \( 5,76 + 0,16 + 0,16 + 0,36 + 6,76 = 13,2 \).
2. Делим на \( n-1 = 4 \): \( 13,2 / 4 = 3,3 \) (выборочная дисперсия).
3. Извлекаем квадратный корень: \( s = \sqrt{3,3} \approx 1,817 \).

Таким образом, выборочное стандартное отклонение для данной выборки составляет примерно 1,817.

Применение

В статистическом анализе

Выборочное стандартное отклонение используется для:

• Оценки разброса данных в описательной статистике.
• Построения доверительных интервалов для среднего генеральной совокупности.
• Расчёта стандартной ошибки среднего (\( SE = s / \sqrt{n} \)).
• Проверки статистических гипотез (например, t-критерий Стьюдента).

В контроле качества

В производственных процессах (например, в машиностроении или фармацевтике) выборочное стандартное отклонение применяется для оценки стабильности технологического процесса. Если \( s \) превышает допустимые пределы, процесс считается нестабильным.

В финансах

В портфельном анализе выборочное стандартное отклонение доходности актива за определённый период (например, за месяц или год) служит мерой риска (волатильности). Чем выше \( s \), тем более рискованным считается актив.

Сравнение с другими мерами разброса

Выборочное стандартное отклонение и размах

Размах (разность между максимальным и минимальным значениями) проще в вычислении, но крайне чувствителен к выбросам и не учитывает распределение всех данных. Выборочное стандартное отклонение использует все наблюдения, поэтому даёт более полную информацию.

Выборочное стандартное отклонение и среднее абсолютное отклонение

Среднее абсолютное отклонение (MAD) вычисляется как среднее модулей отклонений: \( \frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}| \). Оно менее чувствительно к выбросам, чем \( s \), но не обладает теми же математическими свойствами (например, не подчиняется правилу 68-95-99,7 для нормального распределения).

Выборочное стандартное отклонение и межквартильный размах

Межквартильный размах (IQR) — разность между третьим и первым квартилями — устойчив к выбросам, но не использует всю информацию о распределении. \( s \) предпочтительнее для данных, близких к нормальному распределению.

Ограничения

• Зависимость от распределения: выборочное стандартное отклонение наиболее информативно для данных, распределённых по нормальному закону. Для сильно асимметричных распределений или распределений с тяжёлыми хвостами (например, распределение Парето) \( s \) может давать искажённое представление о разбросе.
• Неустойчивость к выбросам: как уже отмечалось, одно экстремальное значение может существенно изменить \( s \), что делает его ненадёжной мерой для данных с выбросами.
• Неприменимость для категориальных данных: выборочное стандартное отклонение имеет смысл только для количественных (интервальных или относительных) шкал.

Программная реализация

В большинстве статистических пакетов и языков программирования выборочное стандартное отклонение вычисляется по умолчанию. Например:

• В Python (библиотека NumPy): numpy.std(data, ddof=1) (параметр ddof=1 включает поправку Бесселя).
• В R: функция sd(data).
• В Microsoft Excel: функция СТАНДОТКЛОН.В() (или STDEV.S в англоязычной версии).
• В Google Sheets: функция STDEV.

Источники

• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2003.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
• М. Дж. Кроули. Статистика для начинающих. — М.: ДМК Пресс, 2019.
• Lehmann E. L. Elements of Large-Sample Theory. — Springer, 1999.