Вычитание как арифметическое действие¶

Вычитание — одно из четырёх основных арифметических действий, обратное сложению; операция, в результате которой из одного числа (уменьшаемого) находится другое число (разность), которое при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемое. Обозначается знаком минус (−), например: 7 − 3 = 4.

¶Определение и терминология

В выражении вида a − b = c число a называют уменьшаемым, число b — вычитаемым, а результат c — разностью. Операция вычитания определена для множества натуральных чисел лишь частично: разность двух натуральных чисел является натуральным числом только в случае, когда уменьшаемое не меньше вычитаемого. Для того чтобы вычитание было выполнимо для любой пары чисел, числовые множества расширяют: на множестве целых чисел вычитание определено всегда, как и на множествах рациональных, вещественных и комплексных чисел.

Формально вычитание можно определить через сложение: разностью чисел a и b называется такое число x, что b + x = a. Таким образом, вычитание является операцией, обратной сложению. На множестве целых чисел вычитание эквивалентно прибавлению числа, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Это свойство позволяет свести вычитание к сложению и использовать для него законы арифметики.

¶Свойства вычитания

В отличие от сложения и умножения, вычитание не обладает переместительным (коммутативным) свойством: a − b ≠ b − a (за исключением случая, когда a = b). Оно также не является сочетательным (ассоциативным) действием: (a − b) − c ≠ a − (b − c). Поэтому при выполнении нескольких последовательных вычитаний порядок операций строго фиксирован, а для изменения порядка применяют правило раскрытия скобок: a − (b + c) = a − b − c и a − (b − c) = a − b + c.

Вычитание связано со сложением и умножением следующими законами:

• вычитание суммы из числа: a − (b + c) = a − b − c;
• вычитание числа из суммы: (a + b) − c = (a − c) + b = a + (b − c);
• умножение разности на число: (a − b) · c = a · c − b · c (распределительный закон).

Вычитание нуля не изменяет число: a − 0 = a. Вычитание числа из самого себя даёт ноль: a − a = 0.

¶Вычитание в различных числовых множествах

На множестве натуральных чисел вычитание возможно только при условии, что уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему. Если это условие не выполняется, результат выходит за пределы множества, что исторически привело к введению отрицательных чисел и нуля.

На множестве целых чисел вычитание выполнимо всегда, и его результат также является целым числом. Для рациональных чисел (дробей) вычитание сводится к вычитанию числителей после приведения дробей к общему знаменателю. Для вещественных чисел вычитание определено через предельный переход от рациональных приближений. На множестве комплексных чисел вычитание выполняется отдельно для действительных и мнимых частей: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

¶Техника выполнения вычитания

Для вычитания многозначных чисел используется письменный приём «вычитание столбиком»: числа записываются друг под другом так, чтобы соответствующие разряды находились в одном столбце, после чего производится поразрядное вычитание справа налево. Если в каком-то разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, занимают единицу из следующего старшего разряда.

Для быстрого устного счёта применяются приёмы, основанные на свойствах вычитания: вычитание по частям (например, 73 − 28 = 73 − 20 − 8), дополнение вычитаемого до круглого числа с последующей коррекцией результата (73 − 30 + 2), вычитание с переходом через десяток. В двоичной системе счисления вычитание выполняется по тем же правилам, что и в десятичной, с заимствованием единицы из старшего разряда.

¶История развития операции

Вычитание известно с глубокой древности. В Древнем Египте (около 2000 года до н. э.) при вычислениях использовали дополнение чисел до десяти, что фактически являлось вычитанием. В вавилонской математике (около 1800 года до н. э.) применялась шестидесятеричная система, в которой вычитание выполнялось по таблицам обратных чисел. Древнегреческие математики, в частности Евклид (III век до н. э.), рассматривали вычитание в геометрическом контексте как удаление отрезка из отрезка.

Современный знак минуса (−) ввёл в обиход немецкий математик Ян Видман в книге «Быстрый и красивый счёт для всех торговцев» (1489 год). Ранее для обозначения вычитания использовали букву m (от латинского minus) или само слово minus. Распространению знака способствовали труды нидерландского математика Симона Стевина и английского учёного Роберта Рекорда. Термины «уменьшаемое» и «вычитаемое» ввёл в русскоязычную математическую литературу Леонтий Магницкий в «Арифметике» (1703 год).

¶Применение вычитания

Вычитание является базовой операцией, применяемой во всех областях человеческой деятельности, связанных с количественными расчётами. В повседневной жизни оно используется для подсчёта сдачи, определения разницы во времени, измерения расстояний и температур. В бухгалтерском учёте вычитание лежит в основе расчёта прибыли (доходы минус расходы), сальдо и дебетовых оборотов. В физике вычитание применяется при вычислении изменения скорости, перемещения, разности потенциалов.

В программировании вычитание является одной из фундаментальных операций, реализованной на уровне машинных инструкций процессора. Для целых чисел в компьютерах вычитание выполняется через сложение с дополнительным кодом вычитаемого, что позволяет использовать один и тот же аппаратный блок сумматора. В языках программирования вычитание обозначается оператором «−» и подчиняется правилам приоритета операций. В системах компьютерной алгебры (например, Wolfram Mathematica, Maple) вычитание символических выражений выполняется с учётом правил упрощения.

¶Вычитание в алгебре и математическом анализе

В алгебре вычитание рассматривается как частный случай сложения с противоположным элементом. В векторных пространствах вычитание векторов определяется как сложение с вектором, противоположным вычитаемому. Для матриц вычитание выполняется поэлементно, при этом размерности матриц должны совпадать.

В математическом анализе операция вычитания используется при определении производной (через предел отношения приращения функции к приращению аргумента) и интеграла (как предел сумм, где вычитание применяется при вычислении площадей криволинейных трапеций). Разность значений функции на концах промежутка лежит в основе формулы Ньютона — Лейбница.