Вынужденные колебания¶

Вынужденные колебания — колебания механической системы, возникающие под действием внешней периодической (или произвольной по времени) силы, называемой возмущающей или вынуждающей силой. В отличие от свободных колебаний, которые затухают из-за сопротивления среды, вынужденные колебания поддерживаются за счёт внешнего источника энергии и после установления переходного процесса устанавливаются с частотой вынуждающей силы, а не с собственной частотой системы.

¶Математическая модель

Рассмотрим линейную систему с одной степенью свободы — например, грузик массой m, подвешенный на пружине с жёсткостью k и движущийся в среде с коэффициентом вязкого сопротивления b. Уравнение движения системы с внешней силой F(t) имеет вид:

m·ẍ + b·ẋ + k·x = F(t)

или в нормированной форме:

ẍ + 2β·ẋ + ω₀²·x = f(t),

где ω₀ = √(k/m) — собственная (резонансная) частота системы, β = b/(2m) — коэффициент затухания, f(t) = F(t)/m — возмущающая сила, отнесённая к единице массы.

Частный случай — гармоническая возмущающая сила F(t) = F₀·cos(ωt), где F₀ — амплитуда, ω — циклическая частота внешнего воздействия. В этом случае общее решение складывается из двух слагаемых: затухающего свободного колебания с частотой ω_d = √(ω₀² − β²) и установившегося вынужденного колебания с частотой внешней силы ω:

x(t) = e^(−βt)·(C₁·cos ω_d·t + C₂·sin ω_d·t) + A·cos(ωt − φ)

Первое слагаемое убывает со временем и называется переходным (мнимым) процессом, второе — установившимся вынужденным колебанием.

¶Амплитуда и фаза

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний вычисляется по формуле:

A = F₀ / √((ω₀² − ω²)² + 4β²ω²)

Фазовый сдвиг φ между возмущающей силой и колебанием:

φ = arctg(2βω / (ω₀² − ω²))

Из этих выражений следует ряд важных следствий:

• при медленном воздействии (ω ≪ ω₀) амплитуда стремится к статическому смещению F₀/k, а фазовый сдвиг близок к нулю;
• при быстром воздействии (ω ≫ ω₀) амплитуда стремится к нулю — система «не успевает» реагировать на быстрые изменения силы;
• при ω → ω₀ амплитуда резко возрастает, достигая максимума.

¶Резонанс

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой системы называется резонансом. Точное совпадение ω = ω₀ возможно лишь при отсутствии затухания; при наличии затухания максимальная амплитуда достигается при частоте:

ω_res = √(ω₀² − 2β²)

Максимальное значение амплитуды:

A_max = F₀ / (2β·√(ω₀² − β²))

Чем меньше затухание, тем выше и уже резонансный пик. Острота резонанса характеризуется добротностью Q = ω₀/(2β): при Q ≫ 1 колебательная система избирательно усиливает воздействие на частоте, близкой к собственной.

Резонанс имеет как полезное, так и разрушительное применение. Разрушительный резонанс — причина обрушений мостов (в том числе известного обрушения Такомского моста в 1940 году) и аварий машин при работе на определённых оборотах. Полезное применение — настройка радиоприёмников, звуковых камер, работы кварцевых резонаторов в часах.

¶Переходный процесс

До установления стационарного режима в системе наблюдается переходный процесс, в котором сосуществуют две составляющие: затухающее свободное колебание с частотой ω_d и установившееся вынужденное колебание с частотой ω. Суммарная амплитуда при этом может превышать стационарную, что важно учитывать при расчёте конструкций — максимальные напряжения в первые периоды могут быть значительнее, чем в установившемся режиме.

Время затухания переходного процесса определяется как t_z ≈ 3/β (за это время амплитуда свободной составляющей уменьшается примерно в 20 раз).

¶Принцип суперпозиции

Для линейной системы, поскольку уравнение движения линейное, действует принцип суперпозиции: полное решение равно сумме решений для каждой из составляющих возмущающей силы. Если F(t) представляется в виде ряда Фурье, то установившееся решение строится как сумма вынужденных колебаний по каждой гармонике с соответствующими амплитудами и фазами. Это позволяет анализировать воздействие произвольной периодической силы.

¶Применение

Вынужденные колебания описывают широкий круг явлений:

• Электротехника — колебательные контуры, усилители, фильтры, явление электрического резонанса в LC-цепях;
• Механика — вибрации машин и конструкций, балансировка роторов, виброзащита;
• Акустика — резонансные свойства корпусов музыкальных инструментов, акустические камеры;
• Оптика — вынужденные колебания атомов в электромагнитном поле, лазеры;
• Биофизика — резонансное поглощение в молекулярной спектроскопии, МРТ.

В технике для борьбы с нежелательными вынужденными колебаниями применяют виброгасители, динамические гасители (гасители Туннеля), а также изменение собственной частоты конструкции.

¶История

Теория вынужденных колебаний развивалась в XVIII–XIX веках в работах Леонарда Эйлера, Даниила Бернулли, Жан-Батиста Жозефа Фурье (разложение произвольных функций в тригонометрический ряд), Михаила Ломоносова и Александра Лебедева в России. Систематическое изложение теории резонанса и вынужденных колебаний было дано в трудах Феликса Савари, Георга Кирхгофа, а в XX веке — в фундаментальных монографиях Бориса Стечкина и Александра Андронова, заложивших общую теорию колебаний в СССР.

Источники:

• Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. «Теория колебаний»
• Савельев И. В. «Курс общей физики. Механика. Молекулярная физика»
• Феодосьев В. И. «Сопротивление материалов»
• Толстов Г. П. «Фурье ряды»
• Стечкин Б. П. «Динамика тонкостенных оболочек»