Закон Архимеда

Закон Архимеда — это физический закон гидростатики и аэростатики, согласно которому на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им среды. Эта сила называется силой Архимеда или архимедовой силой. Закон сформулирован древнегреческим учёным Архимедом в III веке до н. э. и является одним из фундаментальных принципов гидростатики.

История открытия

Согласно преданию, изложенному римским архитектором Витрувием, закон был открыт Архимедом во время решения задачи, поставленной сиракузским царём Гиероном II. Царь заподозрил ювелира в том, что тот изготовил корону не из чистого золота, а из сплава с серебром, и поручил Архимеду проверить это, не разрушая изделия.

Размышляя над задачей, Архимед во время купания обратил внимание на то, что его тело вытесняет из ванны воду, и осознал, что объём вытесненной воды равен объёму погружённой части тела. Согласно легенде, учёный выскочил из ванны с криком «Эврика!» (греч. εὕρηκα — «нашёл») и побежал по улицам Сиракуз голым, чтобы проверить свою догадку. Он погрузил в воду сначала слиток золота, затем слиток серебра, а потом корону, и по разнице в объёмах вытесненной воды доказал, что корона изготовлена не из чистого золота.

Сам Архимед изложил закон в трактате «О плавающих телах» (греч. Περὶ τῶν ὀχουμένων), где сформулировал его в виде двух положений: первое — тело, погружённое в жидкость, теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость; второе — тело, более лёгкое, чем жидкость, всплывает до тех пор, пока вес вытесненной жидкости не сравняется с весом тела.

Формулировка и математическое выражение

В современной формулировке закон Архимеда гласит: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх и равная по модулю весу среды, вытесненной телом.

Математически сила Архимеда выражается формулой:

\[ F_A = \rho g V \]

где:

• \( F_A \) — сила Архимеда (Н);
• \( \rho \) — плотность жидкости или газа (кг/м³);
• \( g \) — ускорение свободного падения (≈ 9,81 м/с²);
• \( V \) — объём части тела, погружённой в среду (м³).

Из формулы следует, что сила Архимеда не зависит от формы тела, его плотности и глубины погружения (при условии однородной среды). Она определяется только плотностью среды и объёмом погружённой части тела.

Условия плавания тел

На основе закона Архимеда можно определить поведение тела в жидкости:

1. Тело тонет, если его средняя плотность больше плотности жидкости (\( \rho_t > \rho_f \)). Сила тяжести превышает силу Архимеда, и тело опускается на дно.
2. Тело плавает на поверхности, если его средняя плотность меньше плотности жидкости (\( \rho_t < \rho_f \)). Сила Архимеда превышает силу тяжести, и тело всплывает до тех пор, пока не наступит равновесие.
3. Тело находится в равновесии на любой глубине, если его средняя плотность равна плотности жидкости (\( \rho_t = \rho_f \)). Силы тяжести и Архимеда уравновешиваются.

Для плавающего тела справедливо соотношение: объём погружённой части тела равен отношению плотности тела к плотности жидкости, умноженному на полный объём тела. Например, айсберг, имеющий плотность около 900 кг/м³, погружается в морскую воду (плотность ≈ 1025 кг/м³) примерно на 90% своего объёма.

Применение закона Архимеда

Судостроение

Закон Архимеда лежит в основе проектирования плавучих средств. Корпус судна изготавливается из материалов с плотностью, большей плотности воды (например, сталь — 7800 кг/м³), но благодаря воздушным полостям средняя плотность судна оказывается меньше плотности воды. Осадка судна — глубина погружения его корпуса — определяется весом судна и груза. Понятие «водоизмещение» означает вес воды, вытесняемой судном при его полной загрузке.

Воздухоплавание

В газах закон Архимеда действует аналогично. Воздушные шары, дирижабли и аэростаты поднимаются вверх, если их средняя плотность (вместе с газом внутри) меньше плотности окружающего воздуха. Для этого оболочку заполняют лёгкими газами (водородом, гелием) или нагретым воздухом. Подъёмная сила аэростата равна разности между весом вытесненного воздуха и весом газа внутри оболочки.

Подводные аппараты

Подводные лодки и батискафы регулируют свою плавучесть с помощью балластных цистерн. Заполняя цистерны водой, аппарат увеличивает свою среднюю плотность и погружается; вытесняя воду сжатым воздухом, он уменьшает плотность и всплывает.

Медицина и биология

• Гидростатическое взвешивание — метод определения плотности тела человека (и, соответственно, процентного содержания жира) путём измерения веса в воздухе и в воде.
• Плавание рыб и морских млекопитающих регулируется с помощью плавательного пузыря (у костистых рыб) или жировых отложений (у акул, китов). Изменяя объём пузыря, рыба меняет свою среднюю плотность и может удерживаться на нужной глубине без затрат энергии.

Лабораторные и промышленные измерения

• Ареометры — приборы для измерения плотности жидкостей, основанные на законе Архимеда. Чем меньше плотность жидкости, тем глубже погружается ареометр.
• Гидростатическое взвешивание используется для определения плотности твёрдых тел и жидкостей, а также для контроля качества материалов (например, драгоценных камней).

Ограничения и уточнения

Закон Архимеда в классической формулировке справедлив для:

• однородной жидкости или газа;
• тела, полностью или частично погружённого в среду;
• статического равновесия (отсутствие значительных течений и ускорений).

В реальных условиях на силу Архимеда могут влиять:

• неоднородность среды (например, слоистость жидкости по плотности);
• сжимаемость газа (на больших высотах плотность воздуха уменьшается);
• поверхностное натяжение (для очень малых тел, например, насекомых, плавающих на поверхности воды);
• вязкость среды (при движении тела возникает дополнительное сопротивление, но оно не связано с силой Архимеда).

В газовой среде закон Архимеда часто называют законом Архимеда для газов или аэростатическим законом. Для случая, когда тело находится в жидкости, находящейся в ускоренном движении (например, в центрифуге), применяется обобщённая формулировка с учётом эффективного ускорения.

Экспериментальная проверка

Закон Архимеда многократно подтверждался прямыми экспериментами. Классический опыт: подвешенное к динамометру тело взвешивается в воздухе, затем погружается в воду. Показания динамометра уменьшаются на величину, равную весу вытесненной воды. Если собрать вытесненную воду и взвесить её, масса совпадает с потерей веса тела с точностью до погрешности измерений.

В условиях невесомости закон Архимеда не действует, поскольку сила тяжести отсутствует (нет направленного градиента давления в жидкости). Однако в условиях микрогравитации на Международной космической станции пузырьки газа в жидкости не всплывают, а остаются на месте, что объясняется отсутствием архимедовой силы.

Источники

1. Архимед. «О плавающих телах» (ок. 250 г. до н. э.).
2. Витрувий. «Десять книг об архитектуре» (книга IX, глава 3).
3. Сивухин Д. В. «Общий курс физики. Том 1. Механика». — М.: Наука, 1979.
4. Ландсберг Г. С. «Оптика» (глава, посвящённая гидростатике). — М.: Физматлит, 2003.
5. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. «Фейнмановские лекции по физике. Том 2». — М.: Мир, 1965.