Замкнутая бозонная струна

Замкнутая бозонная струна — это теоретический объект в теории струн, представляющий собой одномерную протяжённую петлю (кольцо), которая не имеет концов. В отличие от открытой струны, концы которой могут быть свободными или закреплёнными на бранах, замкнутая струна образует замкнутый контур, что накладывает на неё особые граничные условия и приводит к появлению специфических мод колебаний. В рамках бозонной теории струн замкнутые струны описывают гравитационное взаимодействие: их колебательные моды включают безмассовую частицу спина 2 — гравитон, что делает эту теорию кандидатом на квантовую теорию гравитации.

История

Концепция замкнутой струны возникла в начале 1970-х годов в ходе развития теории струн как альтернативы точечным моделям элементарных частиц. Первоначально теория струн разрабатывалась для описания сильного взаимодействия (адронов), но вскоре выяснилось, что она содержит тахион — частицу с мнимой массой, что указывало на нестабильность вакуума. В 1974 году Джон Шварц и Жоэль Шерк показали, что замкнутые струны, в отличие от открытых, могут описывать гравитацию, а их безмассовое состояние спина 2 соответствует гравитону. Это открытие привело к переосмыслению теории струн как потенциальной единой теории всех фундаментальных взаимодействий.

В 1980-х годах, после первой суперструнной революции, замкнутые струны стали центральным элементом в пяти суперструнных теориях (тип I, тип IIA, тип IIB, гетеротические SO(32) и E8×E8). Вторая суперструнная революция (1995 год) показала, что все эти теории связаны дуальностями и объединяются в рамках М-теории, где замкнутые струны являются одним из проявлений более фундаментальных объектов — мембран.

Классификация

Замкнутые бозонные струны классифицируются по нескольким признакам:

По граничным условиям

• Периодические граничные условия: координаты струны удовлетворяют условию \( X^\mu(\sigma + 2\pi) = X^\mu(\sigma) \), где \(\sigma\) — параметр вдоль струны. Это стандартный случай для замкнутой струны.
• Антипериодические граничные условия (для фермионных полей в суперструнах): применяются в секторах Рамона и Невё—Шварца, но в чисто бозонной теории не рассматриваются.

По ориентации

• Ориентированные замкнутые струны: имеют определённое направление обхода (например, по часовой стрелке). В бозонной теории все замкнутые струны ориентированы.
• Неориентированные замкнутые струны: возникают при проекции на инвариантные состояния относительно обращения параметра \(\sigma \to -\sigma\). В бозонной теории такие струны не рассматриваются, но появляются в суперструнах типа I.

По модам колебаний

• Левые и правые моды: колебания замкнутой струны разлагаются на независимые левые и правые бегущие волны. В бозонной теории обе моды описываются одинаковыми осцилляторами, что приводит к появлению тахиона.
• Безмассовые моды: включают гравитон (спин 2), дилатон (спин 0) и антисимметричное тензорное поле B-поле (спин 1).
• Массивные моды: соответствуют возбуждённым состояниям с массой порядка планковской массы.

Устройство и математическое описание

Замкнутая бозонная струна описывается как отображение мирового листа (двумерной поверхности, заметаемой струной в пространстве-времени) в целевое пространство-время. Действие для такой струны задаётся действием Намбу—Гото или его полилинейной версией — действием Полякова.

Действие Намбу—Гото

\[ S = -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int d^2\sigma \sqrt{-\det(\partial_a X^\mu \partial_b X_\mu)}, \] где \(\alpha'\) — параметр натяжения струны (обратная величина квадрата планковской длины), \(\sigma^a = (\tau, \sigma)\) — координаты на мировом листе, а \(X^\mu(\tau, \sigma)\) — координаты струны в пространстве-времени. Для замкнутой струны параметр \(\sigma\) изменяется от 0 до \(2\pi\), и накладывается условие периодичности.

Квантование

Квантование замкнутой струны проводится в калибровке светового конуса или в ковариантной калибровке. В результате получаются операторы рождения и уничтожения для левых и правых мод. Условие массовой оболочки для замкнутой струны имеет вид: \[ M^2 = \frac{4}{\alpha'} (N_L + N_R - 2), \] где \(N_L\) и \(N_R\) — числа возбуждения левых и правых мод. Для физических состояний требуется равенство \(N_L = N_R\) (условие уровня), что является следствием инвариантности относительно репараметризации мирового листа.

Тахион

Основное состояние замкнутой бозонной струны (\(N_L = N_R = 0\)) имеет массу \(M^2 = -4/\alpha'\), то есть является тахионом. Это указывает на нестабильность вакуума теории и необходимость введения суперсимметрии для устранения тахиона.

Применение и значение

Замкнутые бозонные струны играют ключевую роль в теории струн как основа для квантовой гравитации. Их основные применения:

• Гравитация: безмассовое состояние спина 2 (гравитон) описывает гравитационное взаимодействие на квантовом уровне. В отличие от общей теории относительности, теория струн предсказывает конечные амплитуды рассеяния гравитонов.
• Дуальности: замкнутые струны участвуют в S-дуальности (сильная-слабая связь) и T-дуальности (компактификация). Например, T-дуальность связывает замкнутую струну на окружности радиуса \(R\) с замкнутой струной на окружности радиуса \(\alpha'/R\).
• М-теория: в 11-мерной М-теории замкнутые струны возникают как предел мембран (M2-бран) при компактификации одного измерения.
• Космология: замкнутые струны могут образовывать космические струны — топологические дефекты пространства-времени, которые могли возникнуть в ранней Вселенной.

Примеры

• Гравитон: квант гравитационного поля, соответствующий возбуждению замкнутой струны с \(N_L = N_R = 1\) и спином 2.
• Дилатон: скалярное поле, связанное с изменением константы связи в теории струн. В бозонной теории дилатон тахионен, но в суперструнах становится стабильным.
• B-поле: антисимметричное тензорное поле, взаимодействующее с открытыми струнами на D-бранах.

Критика и ограничения

Бозонная теория замкнутых струн имеет ряд недостатков:

• Тахион: наличие тахиона делает теорию нестабильной и неприменимой для описания физического мира.
• Размерность пространства-времени: бозонная струна квантово-аномально согласована только в 26 измерениях, что не соответствует наблюдаемому 4-мерному пространству-времени.
• Отсутствие фермионов: теория описывает только бозоны, что исключает материю (фермионы) и взаимодействия, такие как слабое и сильное.
• Экспериментальная непроверяемость: масштаб струн (планковская длина ~10⁻³⁵ м) недоступен для современных экспериментов, что делает теорию чисто математической.

Эти ограничения привели к развитию суперструнных теорий, где вводится суперсимметрия, устраняющая тахион и снижающая критическую размерность до 10.

Интересные факты

• Замкнутая струна не имеет концов, поэтому её взаимодействия (например, расщепление одной струны на две) происходят через топологические перестройки мирового листа, а не через точечные вершины, как в квантовой теории поля.
• В теории струн гравитон возникает как коллективное возбуждение струны, а не как фундаментальная частица, что разрешает ультрафиолетовые расходимости в квантовой гравитации.
• T-дуальность для замкнутой струны приводит к тому, что физика на малых расстояниях (меньше планковской длины) неотличима от физики на больших, что указывает на минимальную длину в природе.

Источники

• Michael B. Green, John H. Schwarz, Edward Witten. Superstring Theory, Vol. 1: Introduction. Cambridge University Press, 1987.
• Joseph Polchinski. String Theory, Vol. 1: An Introduction to the Bosonic String. Cambridge University Press, 1998.
• Katrin Becker, Melanie Becker, John H. Schwarz. String Theory and M-Theory: A Modern Introduction. Cambridge University Press, 2007.
• Barton Zwiebach. A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2004.