Замыкание по Зарисскому¶

Замыкание по Зарисскому — это операция в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре, которая сопоставляет подмножеству аффинного или проективного пространства наименьшее алгебраическое множество, его содержащее. Иными словами, замыкание по Зарисскому множества \(S\) в топологии Зарисского есть пересечение всех замкнутых (в этой топологии) множеств, содержащих \(S\). Понятие названо в честь немецкого и советского математика Оскара Зарисского, внёсшего фундаментальный вклад в алгебраическую геометрию. Замыкание по Зарисскому является ключевым инструментом для перехода от произвольных множеств точек к алгебраическим многообразиям, задаваемым системами полиномиальных уравнений.

¶Определение

Пусть \(k\) — поле (например, поле комплексных чисел \(\mathbb{C}\) или поле рациональных чисел \(\mathbb{Q}\)), и пусть \(\mathbb{A}^n_k\) — аффинное \(n\)-мерное пространство над \(k\). Топология Зарисского на \(\mathbb{A}^n_k\) определяется следующим образом: замкнутыми множествами являются алгебраические множества, то есть множества точек, являющихся общими нулями некоторого набора многочленов из кольца многочленов \(k[x_1, \dots, x_n]\).

Для произвольного подмножества \(S \subset \mathbb{A}^n_k\) его замыкание по Зарисскому \(\overline{S}\) определяется как пересечение всех алгебраических множеств, содержащих \(S\). Эквивалентно, \(\overline{S}\) есть множество всех точек \(x \in \mathbb{A}^n_k\) таких, что для любого многочлена \(f \in k[x_1, \dots, x_n]\), обращающегося в нуль на всех точках \(S\), выполняется \(f(x) = 0\). В терминах идеалов: если \(I(S)\) — идеал многочленов, исчезающих на \(S\), то \(\overline{S} = V(I(S))\), где \(V\) — обозначение алгебраического множества, задаваемого идеалом.

Аналогично определяется замыкание по Зарисскому в проективном пространстве \(\mathbb{P}^n_k\): замкнутыми множествами являются проективные алгебраические множества (задаваемые однородными многочленами), и замыкание подмножества есть пересечение всех таких множеств, его содержащих.

¶Свойства

¶Основные свойства

1. Идемпотентность: \(\overline{\overline{S}} = \overline{S}\).
2. Монотонность: если \(S_1 \subset S_2\), то \(\overline{S_1} \subset \overline{S_2}\).
3. Связь с идеалами: \(\overline{S} = V(I(S))\), где \(I(S)\) — идеал многочленов, обращающихся в нуль на \(S\).
4. Топологическая интерпретация: замыкание по Зарисскому совпадает с замыканием множества \(S\) в топологии Зарисского.
5. Непрерывность: если \(\varphi: X \to Y\) — морфизм алгебраических многообразий, то \(\varphi(\overline{S}) \subset \overline{\varphi(S)}\).

¶Различия с евклидовым замыканием

В отличие от замыкания в евклидовой топологии (например, в \(\mathbb{R}^n\) или \(\mathbb{C}^n\) с обычной метрикой), замыкание по Зарисскому может быть существенно меньше. Например, в \(\mathbb{A}^1_\mathbb{C}\) (аффинная прямая над комплексными числами) замкнутыми множествами в топологии Зарисского являются только конечные множества точек и вся прямая. Замыкание по Зарисскому бесконечного множества точек, не являющегося алгебраическим (например, множества всех точек с рациональными координатами), будет всей прямой \(\mathbb{A}^1_\mathbb{C}\). В то же время евклидово замыкание того же множества — также вся прямая, но для конечного множества евклидово замыкание — оно само, а замыкание по Зарисскому — оно же, так как конечное множество алгебраично.

¶Примеры

¶Пример 1: Аффинная прямая

Рассмотрим \(\mathbb{A}^1_\mathbb{C}\) и множество \(S = \{1, 2, 3\}\). Идеал многочленов, обращающихся в нуль на \(S\), порождается многочленом \((x-1)(x-2)(x-3)\). Тогда \(\overline{S} = V((x-1)(x-2)(x-3)) = \{1, 2, 3\}\). Замыкание совпадает с самим множеством.

¶Пример 2: Бесконечное множество

Пусть \(S = \mathbb{Z} \subset \mathbb{A}^1_\mathbb{C}\). Любой многочлен \(f(x)\), обращающийся в нуль на всех целых числах, должен быть нулевым многочленом (так как ненулевой многочлен имеет лишь конечное число корней). Следовательно, \(I(S) = \{0\}\), и \(\overline{S} = V(\{0\}) = \mathbb{A}^1_\mathbb{C}\). Замыкание по Зарисскому множества целых чисел — вся аффинная прямая.

¶Пример 3: График функции

Рассмотрим в \(\mathbb{A}^2_\mathbb{C}\) множество \(S = \{(t, \sin t) \mid t \in \mathbb{C}\}\). Многочлены, обращающиеся в нуль на \(S\), должны удовлетворять условию \(f(t, \sin t) = 0\) для всех комплексных \(t\). Поскольку \(\sin t\) не является алгебраической функцией (она трансцендентна), единственным таким многочленом является нулевой. Следовательно, \(\overline{S} = \mathbb{A}^2_\mathbb{C}\). Однако если взять \(S = \{(t, t^2) \mid t \in \mathbb{C}\}\), то многочлен \(y - x^2\) обращается в нуль на \(S\), и замыкание будет кривой \(y = x^2\).

¶Пример 4: Проективное пространство

В \(\mathbb{P}^1_\mathbb{C}\) (проективная прямая) замкнутые множества — это конечные наборы точек и вся прямая. Замыкание по Зарисскому любого бесконечного множества — вся проективная прямая.

¶Применение

¶В алгебраической геометрии

Замыкание по Зарисскому используется для построения замыкания подмногообразий, для определения неприводимых компонент алгебраических множеств, а также в теории схем. Например, для любого подмножества \(S\) аффинного пространства его замыкание по Зарисскому является алгебраическим множеством, которое можно разложить в объединение неприводимых компонент. Это позволяет изучать геометрические свойства множеств через алгебраические уравнения.

¶В коммутативной алгебре

Операция замыкания по Зарисскому тесно связана с радикалом идеала. Если \(I\) — идеал в кольце многочленов, то \(V(I)\) — алгебраическое множество, а \(I(V(I)) = \sqrt{I}\) — радикал идеала \(I\). Замыкание по Зарисскому множества \(S\) соответствует взятию радикала идеала \(I(S)\).

¶В теории чисел

В арифметической геометрии замыкание по Зарисскому используется для изучения решений диофантовых уравнений. Например, замыкание по Зарисскому множества целых точек на алгебраической кривой может дать информацию о её арифметических свойствах.

¶История

Понятие топологии Зарисского и замыкания по Зарисскому было введено Оскаром Зарисским в 1940-х годах в рамках его работ по алгебраической геометрии. Зарисский, будучи учеником и последователем Эмми Нётер, развивал подход, основанный на коммутативной алгебре, что позволило строго определить алгебраические многообразия над произвольными полями. Топология Зарисского стала одним из фундаментальных понятий современной алгебраической геометрии, а замыкание по Зарисскому — стандартным инструментом для работы с алгебраическими множествами.

¶Связь с другими понятиями

• Топология Зарисского: замыкание по Зарисскому является замыканием в этой топологии.
• Алгебраическое множество: замыкание по Зарисскому любого множества является алгебраическим множеством.
• Схема: в теории схем замыкание по Зарисскому определяется для подсхем и является важным понятием при изучении морфизмов схем.
• Радикал идеала: для аффинного пространства \(V(I(S)) = \overline{S}\) соответствует радикалу идеала \(I(S)\).

¶Источники

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Том 1. — М.: ИЛ, 1963.
• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1988.