Морфизм¶

Морфизм — в математике фундаментальное понятие теории категорий, обозначающее отображение (структуро-сохраняющую функцию) между двумя объектами категории. Морфизмы обобщают такие разнородные понятия, как функции между множествами, гомоморфизмы алгебраических структур, непрерывные отображения топологических пространств и другие виды «стрелок», сохраняющих структуру объектов.

¶Определение и формализация

В теории категорий морфизм (или стрелка) представляет собой абстрактную сущность, связывающую два объекта: домен (источник) и кодомен (цель). Каждый морфизм записывается как \( f: A \to B \), где \( A \) — домен, \( B \) — кодомен. Совокупность всех морфизмов из \( A \) в \( B \) обозначается как \( \mathrm{Hom}(A, B) \) или \( \mathrm{Mor}(A, B) \).

Категория задаётся аксиомами, которым подчиняются морфизмы:

1. Композиция: для любых морфизмов \( f: A \to B \) и \( g: B \to C \) существует композиция \( g \circ f: A \to C \), причём операция композиции ассоциативна.
2. Тождественность: для каждого объекта \( A \) существует тождественный морфизм \( \mathrm{id}_A: A \to A \), который нейтрален относительно композиции: \( f \circ \mathrm{id}_A = f \) и \( \mathrm{id}_B \circ f = f \).

¶Виды морфизмов

В зависимости от свойств композиции и взаимной обратимости выделяют несколько классов морфизмов:

¶Мономорфизм и эпиморфизм

• Мономорфизм — морфизм \( f: A \to B \), который является «сократимым слева»: если \( f \circ g_1 = f \circ g_2 \), то \( g_1 = g_2 \). В категории множеств мономорфизмы — это инъективные функции.
• Эпиморфизм — морфизм, сократимый справа: если \( h_1 \circ f = h_2 \circ f \), то \( h_1 = h_2 \). В категории множеств эпиморфизмы — сюръективные функции.

¶Изоморфизм

Изоморфизм — морфизм \( f: A \to B \), для которого существует обратный морфизм \( f^{-1}: B \to A \) такой, что \( f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A \) и \( f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B \). Изоморфизм одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом (обратное не всегда верно). Существование изоморфизма означает структурную эквивалентность объектов.

¶Автоморфизм и эндоморфизм

• Эндоморфизм — морфизм, у которого домен и кодомен совпадают (\( f: A \to A \)).
• Автоморфизм — эндоморфизм, являющийся изоморфизмом. Множество автоморфизмов объекта образует группу относительно композиции.

¶Ретракция и коретракция

• Ретракция — морфизм \( r: B \to A \), для которого существует морфизм \( s: A \to B \) с условием \( r \circ s = \mathrm{id}_A \). Морфизм \( s \) называется коретракцией (или сечением). Если для морфизма существует ретракция, то он является мономорфизмом; если коретракция — эпиморфизмом.

¶Примеры морфизмов в конкретных категориях

В каждой из этих категорий изоморфизмы соответствуют биективным гомоморфизмам (для алгебраических структур), гомеоморфизмам (для топологических пространств) и изоморфизмам векторных пространств.

¶Значение понятия

Понятие морфизма лежит в основе всей теории категорий, которая с 1940-х годов (работы С. Эйленберга и С. Маклейна) развивается как универсальный язык математики. Категорный подход позволяет формулировать и доказывать утверждения, справедливые одновременно для разных математических структур, а также выявлять глубокие аналогии между разделами математики. Морфизмы используются в гомологической алгебре, алгебраической геометрии, теории топосов и в информатике (например, в теории типов и функциональном программировании, где категории описывают типы и функции).

¶История

Термин «морфизм» происходит от греческого morphe (форма) и был введён в математический обиход в середине XX века вместе с развитием теории категорий. Первоначально понятие использовалось под названием «стрелка» (arrow) или «отображение», однако именно категорная аксиоматика придала ему универсальный и самостоятельный статус, отделив от конкретной природы объектов.