Абелево многообразие

Абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие, являющееся одновременно алгебраической группой (то есть группой, в которой операции умножения и взятия обратного элемента заданы регулярными отображениями). Абелевы многообразия являются коммутативными (абелевыми) группами, что и отражено в их названии, данном в честь Нильса Хенрика Абеля. Они представляют собой многомерное обобщение эллиптических кривых и играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии, теории чисел и комплексном анализе.

История

Изучение абелевых многообразий берёт начало в XIX веке в работах Нильса Хенрика Абеля и Карла Густава Якоба Якоби по теории эллиптических функций и абелевых интегралов. В 1820-х годах Абель открыл теорему сложения для абелевых интегралов, которая позже привела к понятию абелева многообразия как полного множества решений таких интегралов. В середине XIX века Бернхард Риман заложил основы теории абелевых функций, введя понятие римановой поверхности и якобиана — одного из первых примеров абелева многообразия.

В XX веке теория абелевых многообразий была формализована в рамках алгебраической геометрии. В 1940-х годах Андре Вейль разработал аксиоматическое определение абелева многообразия как проективной алгебраической группы, а также доказал теорему о существовании якобиана для алгебраических кривых. В 1950-х годах Александр Гротендик и Жан-Пьер Серре обобщили теорию на случай произвольных полей, включая поля конечной характеристики, что привело к созданию теории этальных когомологий и модулярных форм.

Определение и основные свойства

Абелево многообразие A над полем k — это связная проективная алгебраическая группа. Из проективности и связности следует, что A является коммутативной группой. Групповая операция обычно обозначается как сложение, а нейтральный элемент — как 0. Размерность абелева многообразия определяется как размерность его как алгебраического многообразия.

Ключевые свойства:

• Коммутативность: для любых точек x, y ∈ A выполняется x + y = y + x.
• Проективность: существует вложение A в проективное пространство, что позволяет использовать методы проективной геометрии.
• Связность: многообразие не может быть разбито на два непересекающихся открытых подмножества.
• Гладкость: абелевы многообразия являются гладкими многообразиями (не имеют особенностей).
• Полнота: как проективное многообразие, A является полным, то есть его образ при любом регулярном отображении замкнут.

Классификация

Абелевы многообразия классифицируются по нескольким признакам:

По размерности

• Эллиптические кривые — абелевы многообразия размерности 1. Они являются наиболее изученными и имеют богатую теорию, включая модулярные формы и теорему Морделла — Вейля.
• Абелевы поверхности — размерность 2. Изучаются в контексте поверхностей К3 и модулярных форм.
• Многообразия большей размерности — общий случай, где классификация становится сложнее.

По полю определения

• Над полем комплексных чисел: абелевы многообразия над C эквивалентны комплексным торам, допускающим вложение в проективное пространство (теорема Лефшеца). Такие торы называются абелевыми торами.
• Над конечными полями: играют важную роль в теории чисел, особенно в связи с гипотезами Вейля и теорией этальных когомологий.
• Над полем рациональных чисел: изучаются в арифметической геометрии.

По структуре

• Простые абелевы многообразия — не имеют нетривиальных абелевых подмногообразий.
• Разложимые — изоморфны произведению абелевых многообразий меньшей размерности.
• Якобианы — абелевы многообразия, ассоциированные с алгебраическими кривыми. Каждая гладкая проективная кривая рода g имеет якобиан размерности g.

Устройство и структура

Групповая структура

Абелево многообразие является алгебраической группой, что означает, что отображения сложения и взятия обратного элемента задаются регулярными функциями. Групповая операция коммутативна, что делает абелевы многообразия особенно удобными для изучения.

Комплексная структура

Над полем комплексных чисел абелево многообразие размерности g изоморфно комплексному тору C^g / Λ, где Λ — решётка полного ранга 2g. Для того чтобы такой тор был проективным (то есть допускал вложение в проективное пространство), необходимо существование положительно определённой эрмитовой формы на C^g, принимающей целые значения на Λ (условие Римана). Такие торы называются абелевыми торами.

Дивизоры и линейные расслоения

Важным инструментом изучения абелевых многообразий являются дивизоры и линейные расслоения. На абелевом многообразии существует понятие обильного дивизора, который задаёт вложение в проективное пространство. Теорема Лефшеца утверждает, что для любого обильного дивизора D на абелевом многообразии A существует вложение A в проективное пространство, задаваемое линейной системой |3D|.

Эндоморфизмы

Абелевы многообразия имеют кольцо эндоморфизмов, которое может быть нетривиальным. Например, эллиптические кривые с комплексным умножением имеют кольцо эндоморфизмов, изоморфное порядку в мнимом квадратичном поле. Для простых абелевых многообразий кольцо эндоморфизмов является алгеброй с делением.

Применение и значение

Теория чисел

Абелевы многообразия играют центральную роль в современной теории чисел. Они используются в:

• Доказательстве Великой теоремы Ферма (Эндрю Уайлс, 1994): ключевым шагом было установление модулярности эллиптических кривых над Q.
• Гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера: связывает ранг абелева многообразия с порядком нуля L-функции.
• Теории модулярных форм: абелевы многообразия ассоциируются с модулярными формами через соответствие Ленглендса.

Алгебраическая геометрия

Абелевы многообразия являются основным объектом изучения в теории якобианов, теории Пикара и теории когомологий. Они также используются в теории пересечений и теории мотивов.

Криптография

Эллиптические кривые (абелевы многообразия размерности 1) широко применяются в криптографии с открытым ключом, в частности, в алгоритмах ECDSA и EdDSA. Абелевы поверхности и многообразия большей размерности также исследуются для создания криптосистем, устойчивых к квантовым атакам.

Примеры

• Эллиптическая кривая — абелево многообразие размерности 1. Пример: кривая y^2 = x^3 + ax + b над полем Q.
• Якобиан гиперэллиптической кривой — для кривой рода g, якобиан является абелевым многообразием размерности g.
• Абелева поверхность — произведение двух эллиптических кривых или якобиан кривой рода 2.
• Модулярное абелево многообразие — ассоциировано с модулярной формой веса 2.

Интересные факты

• Абелевы многообразия являются единственными проективными алгебраическими группами (связными и полными). Это следует из теоремы Шевалле — Розенлихта.
• Над полем комплексных чисел абелевы многообразия классифицируются с помощью модулярных пространств, называемых пространствами Зигеля.
• Теорема Морделла — Вейля утверждает, что группа рациональных точек абелева многообразия над числовым полем является конечно порождённой абелевой группой.
• Гипотеза Тейта для абелевых многообразий над конечными полями была доказана в 1980-х годах и связана с этальными когомологиями.

Критика и ограничения

Несмотря на широкое применение, теория абелевых многообразий имеет ограничения. Например, классификация абелевых многообразий над полями положительной характеристики сложна из-за явления суперсингулярности. Кроме того, конструкция якобиана для кривых с особенностями требует дополнительных условий. В криптографии абелевы многообразия большей размерности пока не нашли практического применения из-за вычислительной сложности.

Источники

• Мамфорд Д. «Абелевы многообразия». — М.: Мир, 1971.
• Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия». — М.: Мир, 1981.
• Вейль А. «Введение в теорию абелевых многообразий». — Princeton University Press, 1948.
• Ленг С. «Абелевы многообразия». — Springer, 1983.
• Милн Дж. «Абелевы многообразия» (онлайн-лекции, 2008).