Аддитивный белый гауссовский шум

Аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ, англ. Additive White Gaussian Noise, AWGN) — это математическая модель случайного процесса, используемая в теории связи и обработке сигналов для описания воздействия шума на передаваемый сигнал. Модель предполагает, что шум добавляется к сигналу (аддитивность), имеет равномерную спектральную плотность мощности во всей полосе частот (белый шум) и подчиняется нормальному (гауссовскому) распределению амплитуд. АБГШ является базовой моделью для анализа помехоустойчивости систем связи, поскольку она хорошо аппроксимирует тепловой шум в электронных компонентах и фоновый шум в каналах передачи.

Математическое описание

Модель АБГШ описывается следующим образом. Пусть \( s(t) \) — передаваемый сигнал, а \( n(t) \) — шумовой процесс. Тогда принимаемый сигнал \( r(t) \) выражается как:

\[ r(t) = s(t) + n(t) \]

где \( n(t) \) — реализация аддитивного белого гауссовского шума.

Свойства шумового процесса

1. Аддитивность: Шум суммируется с сигналом, а не умножается или преобразуется иным образом. Это означает, что шум не зависит от сигнала и не влияет на его форму, кроме как через сложение.
2. Белизна: Спектральная плотность мощности \( N_0/2 \) (двусторонняя) или \( N_0 \) (односторонняя) постоянна во всей полосе частот. Это означает, что шум содержит все частоты с одинаковой интенсивностью. В дискретном времени белый шум имеет нулевую автокорреляцию между отсчётами: \( E[n_i n_j] = 0 \) для \( i \neq j \).
3. Гауссовость: Амплитуды шума в каждый момент времени распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией \( \sigma^2 \). Функция плотности вероятности:

\[ f(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}} \]

Дисперсия \( \sigma^2 \) связана со спектральной плотностью мощности: для непрерывного времени \( \sigma^2 = N_0/2 \cdot B \), где \( B \) — полоса частот; для дискретного времени \( \sigma^2 = N_0/2 \).

Дискретная модель

В цифровых системах связи используется дискретная модель АБГШ. Пусть передаётся последовательность символов \( s_k \), где \( k \) — номер отсчёта. Тогда принятый отсчёт:

\[ r_k = s_k + n_k \]

где \( n_k \) — независимые одинаково распределённые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией \( \sigma^2 \). Автокорреляция \( E[n_k n_l] = \sigma^2 \delta_{kl} \), где \( \delta_{kl} \) — символ Кронекера.

Физическая природа и источники

АБГШ является математической идеализацией, но хорошо описывает реальные физические шумы:

• Тепловой шум (шум Джонсона — Найквиста): возникает в резисторах и других проводящих элементах из-за теплового движения электронов. Его спектральная плотность мощности постоянна в широком диапазоне частот (до десятков гигагерц) и равна \( N_0 = 4kTR \), где \( k \) — постоянная Больцмана, \( T \) — температура, \( R \) — сопротивление.
• Шум дробового эффекта: возникает в полупроводниковых приборах (диодах, транзисторах) из-за дискретности носителей заряда. При определённых условиях его распределение близко к гауссовскому.
• Фоновый шум в радиоканалах: космическое излучение, атмосферные помехи, шумы приёмника.

В реальных каналах шум часто не является строго белым или гауссовским, но модель АБГШ служит первым приближением для оценки производительности систем.

Применение в теории связи

Модель АБГШ является основой для анализа помехоустойчивости цифровых систем связи. Она используется для:

Оценка вероятности ошибки

Для различных видов модуляции (BPSK, QPSK, QAM, FSK и др.) рассчитывается вероятность битовой ошибки (BER) или символьной ошибки (SER) в зависимости от отношения сигнал/шум (SNR). Например, для BPSK в канале с АБГШ:

\[ P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) \]

где \( Q(x) \) — функция Гауссова хвоста, \( E_b \) — энергия на бит, \( N_0 \) — односторонняя спектральная плотность мощности шума.

Пропускная способность канала

Согласно теореме Шеннона — Хартли, пропускная способность непрерывного канала с АБГШ и ограничением по полосе \( B \) равна:

\[ C = B \log_2\left(1 + \frac{P}{N_0 B}\right) \]

где \( P \) — средняя мощность сигнала. Эта формула задаёт теоретический предел скорости передачи при заданном SNR.

Моделирование систем

При компьютерном моделировании цифровых систем связи АБГШ генерируется с помощью генераторов псевдослучайных чисел, реализующих нормальное распределение. Это позволяет тестировать алгоритмы кодирования, модуляции, демодуляции и синхронизации.

Разновидности и обобщения

Ограниченный по полосе белый шум

Реальные системы имеют конечную полосу частот, поэтому белый шум часто пропускают через фильтр нижних частот. В результате получается «окрашенный» шум с ограниченной полосой, но сохраняющий гауссовское распределение амплитуд. В дискретном времени это соответствует шуму с коррелированными отсчётами.

Комплексный АБГШ

В системах с квадратурной модуляцией (QAM, OFDM) используется комплексная модель АБГШ, где действительная и мнимая части шума независимы и имеют одинаковую дисперсию \( \sigma^2/2 \). Комплексный шум \( n = n_I + j n_Q \) имеет круговое симметричное гауссовское распределение.

Негауссовские шумы

В некоторых каналах (например, в линиях электропередач, подводной акустике) шум имеет импульсный характер или распределение, отличное от гауссовского (например, распределение Лапласа, Коши). Для таких случаев разрабатываются более сложные модели, такие как смесь гауссовских распределений или α-стабильные распределения.

Критика и ограничения

Модель АБГШ имеет ряд ограничений, которые важно учитывать:

• Идеализация белизны: Реальные шумы имеют спектральную плотность, которая может спадать на высоких частотах или иметь резонансные пики. Например, шум 1/f (фликкер-шум) преобладает на низких частотах.
• Идеализация гауссовости: В некоторых каналах (например, в радиоканалах с замираниями) шум может быть негауссовским из-за нелинейных эффектов или импульсных помех.
• Аддитивность: В реальных системах шум может быть мультипликативным (например, при замираниях сигнала) или зависеть от сигнала (например, в оптических каналах с шумом усиления).
• Независимость отсчётов: В дискретных системах с передискретизацией или фильтрацией отсчёты шума могут быть коррелированы, что нарушает предположение о белизне.

Несмотря на эти ограничения, АБГШ остаётся стандартной моделью для начального анализа и сравнения систем связи, поскольку она математически проста и позволяет получить аналитические решения.

Примеры использования

• Цифровое телевидение: В стандартах DVB-T, DVB-S используется модель АБГШ для оценки пороговых значений SNR.
• Спутниковая связь: Канал спутниковой связи часто аппроксимируется АБГШ, так как основным источником помех является тепловой шум приёмника.
• Wi-Fi и сотовые сети: В стандартах 802.11 и LTE модель АБГШ применяется для тестирования физического уровня в условиях аддитивного шума.
• Кодирование с исправлением ошибок: Свёрточные коды, турбокоды, LDPC-коды часто оптимизируются для канала с АБГШ.

Источники

1. Прокис Дж. Цифровая связь. — М.: Радио и связь, 2000.
2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. — М.: Вильямс, 2003.
3. Галлагер Р. Теория информации и надёжная связь. — М.: Советское радио, 1974.
4. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. — М.: Иностранная литература, 1963.
5. Haykin S. Communication Systems. — 4th ed. — Wiley, 2001.