Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана — это фундаментальная физическая константа, связывающая температуру вещества с энергией его частиц. Она является ключевым элементом статистической физики и термодинамики, определяя соотношение между макроскопическими параметрами системы (температурой) и микроскопическими (кинетической энергией молекул). Обозначается латинской буквой \( k \) или \( k_B \).

Определение и значение

Постоянная Больцмана устанавливает, во сколько раз средняя кинетическая энергия теплового движения частиц (атомов, молекул) меньше энергии, соответствующей единице температуры. В системе СИ она имеет размерность джоуль на кельвин (Дж/К). Численно она равна отношению универсальной газовой постоянной \( R \) к числу Авогадро \( N_A \):

\[ k = \frac{R}{N_A} \]

Согласно современным данным, принятым в 2019 году при переопределении основных единиц СИ, значение постоянной Больцмана является точным и фиксированным:

\[ k = 1,380649 \times 10^{-23} \ \text{Дж/К} \]

Это значение было выбрано таким образом, чтобы единица температуры (кельвин) определялась через эту константу, а не наоборот. До 2019 года постоянная Больцмана измерялась экспериментально, и её значение имело погрешность.

История открытия

Термин «постоянная Больцмана» введён в честь австрийского физика Людвига Больцмана, который в 1870-х годах заложил основы статистической механики. Однако сам Больцман не использовал эту константу в явном виде. Впервые она была введена в 1900 году немецким физиком Максом Планком при выводе закона излучения чёрного тела. Планк обозначил её буквой \( k \) и назвал «постоянной Больцмана» в знак признания заслуг учёного.

Долгое время значение константы определялось экспериментально. Первые точные измерения были выполнены в начале XX века. В 2017 году, в рамках подготовки к переопределению кельвина, были проведены прецизионные измерения методом акустической термометрии и другими способами, позволившие зафиксировать значение с минимальной погрешностью.

Связь с другими константами и законами

Уравнение состояния идеального газа

Постоянная Больцмана входит в уравнение состояния идеального газа в микроскопической форме:

\[ pV = NkT \]

где \( p \) — давление, \( V \) — объём, \( N \) — число частиц, \( T \) — температура. Эта форма эквивалентна классической \( pV = \nu RT \), где \( \nu \) — количество вещества.

Средняя кинетическая энергия

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа выражается через постоянную Больцмана:

\[ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2} kT \]

Для каждой степени свободы молекулы приходится энергия \( \frac{1}{2} kT \). Это соотношение лежит в основе кинетической теории газов.

Распределение Максвелла — Больцмана

Постоянная Больцмана входит в показатель экспоненты распределения частиц по скоростям и энергиям:

\[ f(v) \propto \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right) \]

Она также определяет распределение частиц по высоте в поле тяжести (барометрическая формула).

Закон Стефана — Больцмана

В физике излучения постоянная Больцмана входит в закон Стефана — Больцмана, связывающий энергетическую светимость абсолютно чёрного тела с его температурой:

\[ j = \sigma T^4 \]

где \( \sigma \) — постоянная Стефана — Больцмана, которая выражается через постоянную Больцмана, постоянную Планка и скорость света.

Энтропия и формула Больцмана

Одно из важнейших применений постоянной Больцмана — связь энтропии \( S \) с термодинамической вероятностью (числом микросостояний) \( W \):

\[ S = k \ln W \]

Эта формула высечена на надгробии Людвига Больцмана и является фундаментальным соотношением статистической физики.

Роль в переопределении единиц СИ

В 2019 году Международная система единиц (СИ) была переопределена: все основные единицы (килограмм, ампер, кельвин, моль) стали задаваться через фиксированные значения фундаментальных констант. Для кельвина была выбрана постоянная Больцмана. Её значение было зафиксировано как точное, без погрешности. Это означает, что теперь кельвин определяется как изменение температуры, при котором изменение энергии теплового движения частиц равно \( 1,380649 \times 10^{-23} \) Дж.

Методы измерения

До фиксации значения постоянная Больцмана измерялась несколькими методами:

• Акустическая термометрия: измерение скорости звука в идеальном газе (обычно аргоне) при известной температуре. Скорость звука зависит от \( k \) и позволяет вычислить её значение.
• Диэлектрическая постоянная газа: измерение электрической ёмкости конденсатора с газом при разных давлениях и температурах.
• Измерение шума Джонсона — Найквиста: тепловой шум в резисторе пропорционален \( kT \), что позволяет определить константу.
• Измерение излучения чёрного тела: по закону Планка можно вычислить \( k \) через спектральную плотность излучения.

Наиболее точные результаты (погрешность менее 1 ppm) были получены методом акустической термометрии.

Применение в науке и технике

Постоянная Больцмана используется во всех областях физики, где рассматриваются тепловые процессы:

• Термодинамика и статистическая физика: расчёт теплоёмкостей, энтропии, свободной энергии.
• Физика полупроводников: в уравнении для тока диода (формула Шокли) и для концентрации носителей заряда.
• Астрофизика: оценка температуры звёзд, планетных атмосфер, межзвёздной среды.
• Химическая кинетика: в уравнении Аррениуса для скорости химических реакций.
• Нанотехнологии: моделирование поведения наночастиц и биомолекул.
• Криогеника и метрология: калибровка термометров и определение температурных шкал.

Интересные факты

• Постоянная Больцмана имеет размерность энергии, делённой на температуру. В системе СИ это \( 1,380649 \times 10^{-23} \) Дж/К. В электронвольтах на кельвин её значение составляет примерно \( 8,617333262 \times 10^{-5} \) эВ/К.
• В некоторых системах единиц, например в атомной системе Хартри, постоянная Больцмана равна единице.
• Формула \( S = k \ln W \) считается одной из самых глубоких в физике, так как связывает макроскопическую энтропию с микроскопическим хаосом.
• На могиле Людвига Больцмана на Центральном кладбище Вены высечена именно эта формула.

Источники

• CODATA 2018: Recommended Values of the Fundamental Physical Constants.
• Planck, M. (1901). «On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum». Annalen der Physik.
• Boltzmann, L. (1877). «Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung». Wiener Berichte.
• Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). «The International System of Units (SI)», 9th edition, 2019.
• Kittel, C., Kroemer, H. (1980). Thermal Physics. W. H. Freeman.