Шум Джонсона — Найквиста¶

Шум Джонсона — Найквиста (также известный как тепловой шум, шум Найквиста, шум Джонсона) — это тип электрического шума, возникающего в резистивных элементах электрических цепей вследствие хаотического теплового движения носителей заряда (электронов) в проводнике. Является одним из фундаментальных видов шума, присутствующим во всех пассивных электрических компонентах, обладающих активным сопротивлением, и не может быть полностью устранён, а лишь уменьшен путём снижения температуры.

¶История открытия

В 1926 году американский физик Джон Б. Джонсон, работавший в компании Bell Labs, впервые экспериментально зафиксировал и описал флуктуации напряжения, возникающие на концах резистора. Он обнаружил, что мощность этого шума пропорциональна температуре и сопротивлению элемента, а также не зависит от материала проводника.

В 1928 году американский инженер и физик шведского происхождения Гарри Найквист, также сотрудник Bell Labs, дал теоретическое обоснование явления. Используя законы термодинамики и статистической физики, он вывел формулу, описывающую спектральную плотность мощности теплового шума. Найквист показал, что шум возникает из-за равновесного теплового движения электронов и что его можно рассматривать как проявление флуктуационно-диссипационной теоремы.

¶Физическая природа

Тепловой шум возникает в любом проводнике, имеющем ненулевую температуру (выше абсолютного нуля). Электроны внутри проводника находятся в постоянном хаотическом движении, скорость которого определяется температурой. При столкновениях с ионами кристаллической решётки электроны передают им часть своей энергии, что приводит к появлению случайных флуктуаций тока и напряжения на выводах резистора.

Ключевые особенности:

• Шум является белым (гауссовым) в широком диапазоне частот — его спектральная плотность мощности постоянна вплоть до частот порядка 10¹³ Гц (инфракрасный диапазон), после чего начинает снижаться из-за квантовых эффектов.
• Амплитуда шума подчиняется нормальному (гауссову) распределению.
• Шум не зависит от приложенного напряжения — он существует даже при отсутствии тока в цепи.

¶Математическое описание

¶Формула Найквиста

Спектральная плотность мощности шума Джонсона — Найквиста для напряжения на выводах резистора описывается формулой:

\[ S_v(f) = 4k_B T R \]

где:

• \( S_v(f) \) — спектральная плотность мощности шума по напряжению (в В²/Гц),
• \( k_B \) — постоянная Больцмана (≈ 1,380649×10⁻²³ Дж/К),
• \( T \) — абсолютная температура резистора (в кельвинах),
• \( R \) — активное сопротивление (в омах).

¶Среднеквадратичное напряжение

Для полосы частот \(\Delta f\) (в герцах) среднеквадратичное значение шумового напряжения вычисляется как:

\[ V_{rms} = \sqrt{4k_B T R \Delta f} \]

Аналогично, среднеквадратичное значение шумового тока (для случая короткозамкнутой цепи) равно:

\[ I_{rms} = \sqrt{\frac{4k_B T \Delta f}{R}} \]

¶Пример расчёта

Для резистора сопротивлением 1 кОм при комнатной температуре (300 К) в полосе частот 1 МГц: \[ V_{rms} = \sqrt{4 \times 1,38\times10^{-23} \times 300 \times 1000 \times 10^6} \approx 4,07 \times 10^{-6} \text{ В} = 4,07 \text{ мкВ} \]

¶Зависимость от температуры

Мощность теплового шума прямо пропорциональна абсолютной температуре. При охлаждении резистора до криогенных температур (например, до 4,2 К — температура жидкого гелия) уровень шума снижается примерно в 70 раз по сравнению с комнатной температурой. Это свойство используется в сверхчувствительных измерительных приборах, таких как радиотелескопы и квантовые компьютеры.

¶Применение и значение

¶В радиоэлектронике

Тепловой шум является фундаментальным ограничением для чувствительности радиоприёмных устройств, усилителей и измерительной аппаратуры. Он определяет минимальный уровень сигнала, который может быть обнаружен, и задаёт предел отношения сигнал/шум (SNR) для электронных систем.

¶В метрологии

Шум Джонсона — Найквиста используется в качестве эталонного источника шума для калибровки измерительных приборов. Принцип действия так называемых «шумовых термометров» основан на измерении мощности теплового шума для определения температуры с высокой точностью.

¶В астрофизике

При приёме слабых радиосигналов из космоса тепловой шум входных цепей радиотелескопов является одним из основных источников помех. Для его минимизации приёмные устройства часто охлаждают до криогенных температур.

¶Ограничения и квантовые поправки

При очень высоких частотах (близких к \(f = k_B T / h\), где \(h\) — постоянная Планка) или при очень низких температурах классическая формула Найквиста перестаёт работать. В этих случаях необходимо учитывать квантовую природу электромагнитного излучения. Квантовая поправка приводит к формуле:

\[ S_v(f) = 4k_B T R \cdot \frac{hf/k_B T}{e^{hf/k_B T} - 1} \]

При \(hf \ll k_B T\) (классический предел) эта формула переходит в формулу Найквиста. При \(hf \gg k_B T\) (квантовый предел) шум уменьшается экспоненциально.

¶Отличие от других видов шума

• Дробовой шум (шум Шоттки) — возникает в полупроводниковых приборах и вакуумных лампах из-за дискретности носителей заряда. Зависит от тока, а не от температуры.
• Фликкер-шум (1/f-шум) — имеет спектральную плотность, обратно пропорциональную частоте, и связан с дефектами структуры материалов.
• Шум мерцания — характерен для контактов и полупроводниковых переходов.

¶Способы снижения

1. Охлаждение — снижение температуры резистивных элементов до криогенных значений.
2. Сужение полосы пропускания — использование фильтров низких частот.
3. Выбор материалов с низким сопротивлением — использование сверхпроводников (при температурах ниже критической).
4. Согласование импедансов — оптимальное согласование источника сигнала и нагрузки для минимизации влияния шума.

¶Интересные факты

• Тепловой шум является одним из проявлений флуктуационно-диссипационной теоремы, связывающей диссипацию энергии (выделение тепла) с флуктуациями в равновесной системе.
• В 1927 году Джонсон использовал тепловой шум для измерения постоянной Больцмана с точностью, сопоставимой с другими методами того времени.
• В современных микросхемах тепловой шум ограничивает минимальное рабочее напряжение и энергопотребление цифровых логических элементов.

¶Источники

• Nyquist H. «Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors» // Physical Review, 1928, vol. 32, pp. 110–113.
• Johnson J. B. «Thermal Agitation of Electricity in Conductors» // Physical Review, 1928, vol. 32, pp. 97–109.
• Horowitz P., Hill W. «The Art of Electronics» (3rd ed.), Cambridge University Press, 2015.
• Van der Ziel A. «Noise in Solid State Devices and Circuits», Wiley, 1986.
• Шум Джонсона — Найквиста // Большая российская энциклопедия, 2017.