Шум Джонсона — Найквиста

Шум Джонсона — Найквиста (также известный как тепловой шум, шум Найквиста, шум Джонсона) — это тип электрического шума, возникающего в резистивных элементах электрических цепей вследствие хаотического теплового движения носителей заряда (электронов) в проводнике. Является одним из фундаментальных видов шума, присутствующим во всех пассивных электрических компонентах, обладающих активным сопротивлением, и не может быть полностью устранён, а лишь уменьшен путём снижения температуры.

История открытия

В 1926 году американский физик Джон Б. Джонсон, работавший в компании Bell Labs, впервые экспериментально зафиксировал и описал флуктуации напряжения, возникающие на концах резистора. Он обнаружил, что мощность этого шума пропорциональна температуре и сопротивлению элемента, а также не зависит от материала проводника.

В 1928 году американский инженер и физик шведского происхождения Гарри Найквист, также сотрудник Bell Labs, дал теоретическое обоснование явления. Используя законы термодинамики и статистической физики, он вывел формулу, описывающую спектральную плотность мощности теплового шума. Найквист показал, что шум возникает из-за равновесного теплового движения электронов и что его можно рассматривать как проявление флуктуационно-диссипационной теоремы.

Физическая природа

Тепловой шум возникает в любом проводнике, имеющем ненулевую температуру (выше абсолютного нуля). Электроны внутри проводника находятся в постоянном хаотическом движении, скорость которого определяется температурой. При столкновениях с ионами кристаллической решётки электроны передают им часть своей энергии, что приводит к появлению случайных флуктуаций тока и напряжения на выводах резистора.

Ключевые особенности:

• Шум является белым (гауссовым) в широком диапазоне частот — его спектральная плотность мощности постоянна вплоть до частот порядка 10¹³ Гц (инфракрасный диапазон), после чего начинает снижаться из-за квантовых эффектов.
• Амплитуда шума подчиняется нормальному (гауссову) распределению.
• Шум не зависит от приложенного напряжения — он существует даже при отсутствии тока в цепи.

Математическое описание

Формула Найквиста

Спектральная плотность мощности шума Джонсона — Найквиста для напряжения на выводах резистора описывается формулой:

\[ S_v(f) = 4k_B T R \]

где:

• \( S_v(f) \) — спектральная плотность мощности шума по напряжению (в В²/Гц),
• \( k_B \) — постоянная Больцмана (≈ 1,380649×10⁻²³ Дж/К),
• \( T \) — абсолютная температура резистора (в кельвинах),
• \( R \) — активное сопротивление (в омах).

Среднеквадратичное напряжение

Для полосы частот \(\Delta f\) (в герцах) среднеквадратичное значение шумового напряжения вычисляется как:

\[ V_{rms} = \sqrt{4k_B T R \Delta f} \]

Аналогично, среднеквадратичное значение шумового тока (для случая короткозамкнутой цепи) равно:

\[ I_{rms} = \sqrt{\frac{4k_B T \Delta f}{R}} \]

Пример расчёта

Для резистора сопротивлением 1 кОм при комнатной температуре (300 К) в полосе частот 1 МГц: \[ V_{rms} = \sqrt{4 \times 1,38\times10^{-23} \times 300 \times 1000 \times 10^6} \approx 4,07 \times 10^{-6} \text{ В} = 4,07 \text{ мкВ} \]

Зависимость от температуры

Мощность теплового шума прямо пропорциональна абсолютной температуре. При охлаждении резистора до криогенных температур (например, до 4,2 К — температура жидкого гелия) уровень шума снижается примерно в 70 раз по сравнению с комнатной температурой. Это свойство используется в сверхчувствительных измерительных приборах, таких как радиотелескопы и квантовые компьютеры.

Применение и значение

В радиоэлектронике

Тепловой шум является фундаментальным ограничением для чувствительности радиоприёмных устройств, усилителей и измерительной аппаратуры. Он определяет минимальный уровень сигнала, который может быть обнаружен, и задаёт предел отношения сигнал/шум (SNR) для электронных систем.

В метрологии

Шум Джонсона — Найквиста используется в качестве эталонного источника шума для калибровки измерительных приборов. Принцип действия так называемых «шумовых термометров» основан на измерении мощности теплового шума для определения температуры с высокой точностью.

В астрофизике

При приёме слабых радиосигналов из космоса тепловой шум входных цепей радиотелескопов является одним из основных источников помех. Для его минимизации приёмные устройства часто охлаждают до криогенных температур.

Ограничения и квантовые поправки

При очень высоких частотах (близких к \(f = k_B T / h\), где \(h\) — постоянная Планка) или при очень низких температурах классическая формула Найквиста перестаёт работать. В этих случаях необходимо учитывать квантовую природу электромагнитного излучения. Квантовая поправка приводит к формуле:

\[ S_v(f) = 4k_B T R \cdot \frac{hf/k_B T}{e^{hf/k_B T} - 1} \]

При \(hf \ll k_B T\) (классический предел) эта формула переходит в формулу Найквиста. При \(hf \gg k_B T\) (квантовый предел) шум уменьшается экспоненциально.

Отличие от других видов шума

• Дробовой шум (шум Шоттки) — возникает в полупроводниковых приборах и вакуумных лампах из-за дискретности носителей заряда. Зависит от тока, а не от температуры.
• Фликкер-шум (1/f-шум) — имеет спектральную плотность, обратно пропорциональную частоте, и связан с дефектами структуры материалов.
• Шум мерцания — характерен для контактов и полупроводниковых переходов.

Способы снижения

1. Охлаждение — снижение температуры резистивных элементов до криогенных значений.
2. Сужение полосы пропускания — использование фильтров низких частот.
3. Выбор материалов с низким сопротивлением — использование сверхпроводников (при температурах ниже критической).
4. Согласование импедансов — оптимальное согласование источника сигнала и нагрузки для минимизации влияния шума.

Интересные факты

• Тепловой шум является одним из проявлений флуктуационно-диссипационной теоремы, связывающей диссипацию энергии (выделение тепла) с флуктуациями в равновесной системе.
• В 1927 году Джонсон использовал тепловой шум для измерения постоянной Больцмана с точностью, сопоставимой с другими методами того времени.
• В современных микросхемах тепловой шум ограничивает минимальное рабочее напряжение и энергопотребление цифровых логических элементов.

Источники

• Nyquist H. «Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors» // Physical Review, 1928, vol. 32, pp. 110–113.
• Johnson J. B. «Thermal Agitation of Electricity in Conductors» // Physical Review, 1928, vol. 32, pp. 97–109.
• Horowitz P., Hill W. «The Art of Electronics» (3rd ed.), Cambridge University Press, 2015.
• Van der Ziel A. «Noise in Solid State Devices and Circuits», Wiley, 1986.
• Шум Джонсона — Найквиста // Большая российская энциклопедия, 2017.