Антипризма¶

Антипризма — это многогранник, образованный двумя параллельными, но повёрнутыми друг относительно друга многоугольными основаниями, соединёнными между собой чередующимися треугольными боковыми гранями. В отличие от призмы, где боковые грани являются параллелограммами, у антипризмы боковые грани представляют собой треугольники, а вершины верхнего и нижнего оснований смещены (повёрнуты) относительно друг друга. Антипризмы относятся к классу полуправильных многогранников (призматических форм) и являются частным случаем архимедовых тел.

¶Геометрическое описание и свойства

¶Определение и форма

Антипризма задаётся двумя конгруэнтными правильными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. Один многоугольник повёрнут относительно другого на угол, равный половине центрального угла основания (то есть на 180°/n, где n — число сторон основания). В результате каждая вершина верхнего основания соединяется рёбрами с двумя ближайшими вершинами нижнего основания, образуя пояса из равнобедренных треугольников. Количество боковых треугольных граней равно 2n, а общее число граней — 2n + 2 (два основания и 2n треугольников).

¶Основные параметры

Для правильной антипризмы с n-угольными основаниями и длиной ребра a:

• Высота h: h = a √(1 - 1/(4 sin²(π/n))) (при n ≥ 3).
• Объём V: V = (n a³ √(3)) / (12 tan(π/n)) √(1 - 1/(4 * sin²(π/n))) (при n ≥ 3).
• Площадь поверхности S: S = 2 (n a²) / (4 tan(π/n)) + 2n (a² * √3) / 4.

¶Частные случаи

• Треугольная антипризма (n=3): имеет 2 треугольных основания и 6 боковых треугольников. Является октаэдром (правильным восьмигранником), если все рёбра равны. Октаэдр — одно из пяти платоновых тел.
• Квадратная антипризма (n=4): основания — квадраты, боковые грани — 8 треугольников. Если все рёбра равны, то она является правильным многогранником, но не платоновым, так как основания не являются правильными многоугольниками в строгом смысле (квадраты — правильные, но антипризма не является однородной по вершинам).
• Пятиугольная антипризма (n=5): основания — правильные пятиугольники, боковые грани — 10 треугольников. Входит в семейство архимедовых тел.
• Шестиугольная антипризма (n=6): основания — правильные шестиугольники, боковые грани — 12 треугольников. При n=6 антипризма становится плоской (высота стремится к нулю), что соответствует правильному шестиугольнику, вытянутому в призму.

¶Симметрия

Антипризмы обладают симметрией Dnd (для n-угольной антипризмы) — диэдральной группой порядка 4n. Это означает, что у них есть ось вращения порядка n, проходящая через центры оснований, и n осей второго порядка, перпендикулярных ей, а также n плоскостей симметрии.

¶История

Понятие антипризмы впервые систематически исследовалось в античной геометрии. Древнегреческий математик Архимед (III век до н. э.) в своём трактате «О многогранниках» описал 13 полуправильных многогранников, среди которых были и антипризмы. Однако полное математическое описание антипризм как класса многогранников было дано лишь в эпоху Возрождения. В 1619 году немецкий математик Иоганн Кеплер в работе «Гармония мира» (Harmonices Mundi) впервые привёл систематическое перечисление всех правильных и полуправильных многогранников, включая антипризмы. Кеплер назвал их «антипризмами» из-за их отличия от призм: в призме боковые грани — параллелограммы, а в антипризме — треугольники.

В XIX веке антипризмы изучались в контексте кристаллографии, так как их форма встречается в некоторых кристаллических решётках. В XX веке антипризмы стали объектом изучения в теории графов и комбинаторной геометрии.

¶Классификация

¶По числу сторон основания

Антипризмы классифицируются по числу сторон n многоугольников основания:

• Треугольные (n=3) — октаэдр.
• Квадратные (n=4) — правильная квадратная антипризма.
• Пятиугольные (n=5) — архимедово тело.
• Шестиугольные (n=6) — вырожденная форма (плоская).
• n-угольные (n≥3) — общий случай.

¶По правильности

• Правильные антипризмы — все рёбра равны, основания — правильные многоугольники. Такие антипризмы являются однородными (вершинно-транзитивными) только для n=3, 4, 5. Для n=6 и выше правильная антипризма не является однородной, так как вершины не эквивалентны.
• Полуправильные антипризмы — основания правильные, но боковые рёбра могут отличаться по длине. Этот класс шире и включает все n-угольные антипризмы с произвольной высотой.

¶По типу боковых граней

• Равносторонние треугольники — если все рёбра равны.
• Равнобедренные треугольники — в общем случае, когда высота не равна длине ребра основания.

¶Применение

¶В архитектуре и строительстве

Форма антипризмы используется в дизайне зданий и сооружений благодаря своей эстетической привлекательности и прочности. Например, в архитектуре встречаются антипризматические крыши, башни и декоративные элементы. В России одним из примеров является здание Музея современного искусства «Гараж» в Москве (архитектор Рем Колхаас, 2008), где в конструкции использованы антипризматические элементы.

¶В кристаллографии

Некоторые кристаллы, например, кристаллы минерала анатаза (TiO₂), имеют форму, близкую к антипризме. В кристаллографии антипризмы описывают как один из типов кристаллических решёток, в частности, в структурах типа «антипризма» для координационных соединений.

¶В дизайне и искусстве

Антипризмы часто используются в качестве геометрических форм в скульптуре, ювелирных изделиях и декоративных объектах. Например, в работах американского скульптора Джорджа Хартмана (середина XX века) встречаются антипризматические композиции.

¶В математике и образовании

Антипризмы служат наглядным пособием для изучения свойств многогранников, симметрии и комбинаторной геометрии. Они также используются в задачах на объём и площадь поверхности в школьном курсе стереометрии.

¶В технике

Форма антипризмы применяется в оптике для создания линз и зеркал с необычными оптическими свойствами, а также в механике для изготовления шестерёнок и подшипников с антипризматическими элементами, обеспечивающими равномерное распределение нагрузки.

¶Интересные факты

• Антипризма является двойственным многогранником к бипирамиде (двугранной пирамиде). Если соединить центры граней антипризмы, получится бипирамида.
• Правильная треугольная антипризма (октаэдр) — единственная антипризма, которая является платоновым телом.
• В трёхмерном пространстве существует бесконечное количество антипризм, но только три из них (треугольная, квадратная, пятиугольная) являются правильными многогранниками (все грани — правильные многоугольники, и все вершины эквивалентны).
• Антипризмы встречаются в природе: например, в форме некоторых вирусов (икосаэдрические вирусы) и в структуре молекул (например, в кластерах бора).

¶Источники

• Кеплер И. «Гармония мира» (Harmonices Mundi, 1619).
• Коксетер Г. С. М. «Введение в геометрию» (1961).
• Веннинджер М. «Модели многогранников» (1974).
• Фёдоров Е. С. «Начала учения о фигурах» (1885).
• Энциклопедия «Математика» (под ред. И. М. Виноградова, 1977).