Барометрическая формула¶

Барометрическая формула — физическая формула, описывающая зависимость давления атмосферного газа от высоты над уровнем земной поверхности в условиях однородного гравитационного поля и постоянной температуры. В общем виде устанавливает, что давление убывает с высотой по экспоненциальному закону, что является следствием распределения молекул газа в поле силы тяжести.

¶Физическая сущность

Барометрическая формула выводится из условий гидростатического равновесия атмосферы. Для бесконечно малого изменения высоты \(dz\) изменение давления \(dp\) определяется весом столба газа: \(dp = -\rho g dz\), где \(\rho\) — плотность газа, \(g\) — ускорение свободного падения. Используя уравнение состояния идеального газа, плотность выражается через давление, молярную массу, универсальную газовую постоянную и температуру. Интегрирование полученного дифференциального уравнения при допущении о постоянстве температуры и ускорения свободного падения даёт классическое выражение:

\[ p(h) = p_0 \exp\left(-\frac{M g h}{R T}\right) \]

Здесь \(p_0\) — давление на начальном уровне (обычно на высоте \(h = 0\)), \(M\) — молярная масса газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура. В метеорологии формулу часто записывают через высотную шкалу \(H = RT/(Mg)\), которая характеризует расстояние, на котором давление уменьшается в \(e\) раз.

¶Высотная шкала и барометрическая ступень

Величина \(H\), называемая высотой однородной атмосферы или высотной шкалой, для земной атмосферы при температуре 288 К (15 °C) составляет приблизительно 8,4 км. Это означает, что при подъёме на каждые 8,4 км давление падает примерно в 2,718 раза. На практике чаще используют понятие барометрической ступени — высоты, на которую нужно подняться, чтобы давление уменьшилось на 1 гПа (или на 1 мм рт. ст.). У земной поверхности барометрическая ступень равна примерно 8–9 м на 1 гПа и возрастает с высотой и температурой.

¶Учёт изменения температуры

Классическая барометрическая формула справедлива только для изотермической атмосферы. В реальной тропосфере температура убывает с высотой в среднем на 6,5 К на километр (градиент температуры). Для более точного описания используется обобщённая формула, основанная на политропной модели атмосферы. При линейном изменении температуры \(T(h) = T_0 - \gamma h\) (где \(\gamma\) — вертикальный температурный градиент) зависимость давления принимает степенной вид:

\[ p(h) = p_0 \left(1 - \frac{\gamma h}{T_0}\right)^{\frac{M g}{R \gamma}} \]

В стратосфере, где температура сначала постоянна, а затем растёт, применяются кусочно-заданные модели, например, стандартная атмосфера. В таких моделях атмосфера разбивается на слои, в каждом из которых используется своя формула.

¶Применение

Барометрическая формула лежит в основе ряда практических методов и приборов:

• Барометрическое нивелирование — метод определения разности высот точек земной поверхности по измеренным значениям атмосферного давления. Используется в геодезии и топографии при отсутствии прямой видимости между точками.
• Альтиметрия — определение высоты полёта летательных аппаратов по показаниям барометрического высотомера. Пилоты корректируют приборы с учётом давления на уровне аэродрома и температуры воздуха.
• Метеорология — приведение давления к уровню моря для сопоставимости данных метеостанций, расположенных на разных высотах. Без этой процедуры сравнение синоптических карт было бы невозможным.
• Астрофизика и планетология — формула применяется для оценки вертикальной структуры атмосфер других планет и спутников, например, Марса, Венеры и Титана, при условии знания температуры и состава атмосферы.
• Горная медицина — расчёт парциального давления кислорода на высоте для оценки степени гипоксии у альпинистов и жителей высокогорья.

¶Ограничения применимости

Барометрическая формула является приближением и не описывает реальную атмосферу в полной мере. Основные ограничения связаны с допущениями: постоянство температуры (нарушается в тропосфере), постоянство ускорения свободного падения (значимо на больших высотах), неизменность молярной массы воздуха (на высотах свыше 100 км начинается диссоциация молекул и диффузионное разделение газов). Кроме того, формула не учитывает влажность воздуха, горизонтальные градиенты давления, динамические процессы, такие как конвекция и адвекция, а также вращение Земли. Для высот свыше 100–150 км более корректным является описание атмосферы на основе барометрического закона Больцмана с учётом переменной температуры экзосферы и уходом лёгких газов в космическое пространство.

¶Историческая справка

Экспоненциальный закон убывания давления с высотой был установлен экспериментально в XVII веке. Французский физик Блез Паскаль в 1648 году по предложению Рене Декарта провёл опыт на горе Пюи-де-Дом, подтвердивший уменьшение давления ртутного столба с высотой. Математическое обоснование зависимости в форме, близкой к современной, дал Исаак Ньютон в «Началах» (1687). В XVIII веке Даниил Бернулли и Леонард Эйлер развили гидростатическую теорию атмосферы. Современный вид барометрической формулы, включающей молярную массу и газовую постоянную, окончательно оформился после становления молекулярно-кинетической теории во второй половине XIX века. Больцман обобщил её на случай произвольного силового поля, получив распределение частиц по высоте, известное как барометрическая формула Больцмана.