Бесконечно малая величина

Бесконечно малая величина — это переменная величина, которая в процессе своего изменения стремится к нулю, то есть становится и остаётся меньше любого наперёд заданного положительного числа. Понятие бесконечно малой является фундаментальным в математическом анализе и лежит в основе таких ключевых концепций, как предел, производная и интеграл. В отличие от интуитивного представления о «бесконечно малом числе», в классическом анализе (начиная с работ Коши и Вейерштрасса) бесконечно малая величина не является фиксированным числом, а представляет собой функцию или последовательность, предел которой равен нулю.

История понятия

Античные истоки

Идея бесконечно малых величин восходит к античной математике. Древнегреческие мыслители, такие как Евдокс Книдский и Архимед, использовали метод исчерпывания для вычисления площадей и объёмов. Этот метод оперировал с величинами, которые можно было сделать сколь угодно малыми, но избегал прямого обращения с актуальной бесконечностью. Архимед, в частности, в трактате «О квадратуре параболы» применял приёмы, близкие к современному интегрированию, рассматривая сумму бесконечно большого числа бесконечно малых площадей.

Развитие в XVII—XVIII веках

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых, понятие бесконечно малой величины стало центральным. Исаак Ньютон называл их «флюксиями» (мгновенными скоростями изменения) и «флюентами» (переменными величинами). Готфрид Вильгельм Лейбниц ввёл обозначения \(dx\) и \(dy\) для бесконечно малых приращений переменных. Однако строгость этих построений оставляла желать лучшего. Критики, в частности епископ Джордж Беркли в трактате «Аналитик» (1734), указывали на логические противоречия: бесконечно малые то приравнивались к нулю, то использовались как ненулевые величины.

Строгое обоснование в XIX веке

В XIX веке Огюстен Луи Коши и Карл Вейерштрасс дали строгое определение предела, избавившись от неопределённого понятия «бесконечно малого числа». Коши определил бесконечно малую как переменную, предел которой равен нулю. Вейерштрасс формализовал это на языке «эпсилон-дельта» (\(\varepsilon-\delta\)): величина \(\alpha(x)\) называется бесконечно малой при \(x \to a\), если для любого \(\varepsilon > 0\) существует такое \(\delta > 0\), что для всех \(x\), удовлетворяющих условию \(0 < |x - a| < \delta\), выполняется неравенство \(|\alpha(x)| < \varepsilon\). Это позволило построить математический анализ на прочной логической основе.

Нестандартный анализ

В XX веке, в 1960-х годах, американский математик Абрахам Робинсон разработал нестандартный анализ, в котором бесконечно малые величины (инфинитезимали) рассматриваются как актуальные, но неархимедовы числа. В этой теории существуют числа, которые не равны нулю, но по модулю меньше любого положительного действительного числа. Нестандартный анализ позволяет формализовать интуитивные представления Лейбница, однако в классическом математическом анализе продолжает использоваться подход Коши—Вейерштрасса.

Определение и свойства

Определение в классическом анализе

Функция \(f(x)\) называется бесконечно малой в точке \(x_0\) (или при \(x \to x_0\)), если \(\lim_{x \to x_0} f(x) = 0\). Аналогично, последовательность \(\{a_n\}\) называется бесконечно малой, если \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

Примеры:

• Функция \(f(x) = x\) является бесконечно малой при \(x \to 0\).
• Функция \(f(x) = \frac{1}{x}\) является бесконечно малой при \(x \to \infty\).
• Последовательность \(a_n = \frac{1}{n}\) является бесконечно малой.

Основные свойства

1. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая величина.
3. Произведение конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
4. Частное двух бесконечно малых величин может быть как бесконечно малой, так и бесконечно большой величиной, или стремиться к конечному пределу — это зависит от порядка их малости.

Сравнение бесконечно малых

Для анализа поведения функций вводят понятия порядка малости. Пусть \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) — бесконечно малые при \(x \to x_0\). Тогда:

• Если \(\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0\), то \(\alpha\) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем \(\beta\).
• Если \(\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C \neq 0\), то \(\alpha\) и \(\beta\) называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначение: \(\alpha \sim \beta\)).
• Если \(\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty\), то \(\alpha\) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем \(\beta\).

Пример: При \(x \to 0\) функции \(x^2\) и \(x\) являются бесконечно малыми, но \(x^2\) — более высокого порядка, так как \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0\).

Применение

В математическом анализе

Бесконечно малые величины являются основой для определения производной и интеграла. Производная функции \(f(x)\) в точке \(x\) определяется как предел отношения приращения функции \(\Delta f\) к приращению аргумента \(\Delta x\), когда \(\Delta x\) — бесконечно малая величина: \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}. \] Определённый интеграл, в свою очередь, представляется как предел суммы бесконечно большого числа бесконечно малых площадей (элементов Римана).

В физике

В физике бесконечно малые величины используются для описания мгновенных характеристик процессов. Например:

• Мгновенная скорость \(v(t) = \frac{dx}{dt}\), где \(dx\) — бесконечно малое перемещение за бесконечно малый промежуток времени \(dt\).
• Мгновенное ускорение \(a(t) = \frac{dv}{dt}\).
• В термодинамике бесконечно малые количества тепла и работы обозначаются как \(\delta Q\) и \(\delta A\).

В экономике и других науках

В экономике понятие предельных величин (предельные издержки, предельная полезность) основано на приращениях, стремящихся к бесконечно малым. В теории вероятностей бесконечно малые приращения используются в стохастическом исчислении (например, в модели Блэка-Шоулза).

Критика и философские аспекты

Понятие бесконечно малой величины исторически вызывало философские споры. В античности Аристотель отвергал актуальную бесконечность, что ограничивало развитие анализа. В XVIII веке Беркли критиковал бесконечно малые как «призраки умерших величин». Строгое обоснование Коши и Вейерштрасса разрешило логические парадоксы, но привело к отказу от интуитивного представления о бесконечно малых как о «числах». Нестандартный анализ Робинсона, напротив, реабилитировал этот подход, показав, что актуальные бесконечно малые могут существовать в рамках непротиворечивой формальной системы.

Интересные факты

• В русской математической школе термин «бесконечно малая величина» часто сокращают до «б. м. в.».
• В нестандартном анализе существует понятие «монады» — множества всех чисел, бесконечно близких к данному действительному числу.
• Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела, которое является одним из центральных в современной математике.

Источники

• Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа». Том 1. — М.: Высшая школа, 1981.
• Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа». Том 1. — М.: Наука, 1968.
• Робинсон А. «Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры». — М.: Наука, 1967.
• Беркли Дж. «Трактат о принципах человеческого знания» (содержит критику бесконечно малых в «Аналитике»).