Евдокс Книдский¶

Евдокс Книдский (около 408 года до н. э., Книд — около 355 года до н. э., Книд) — древнегреческий математик, астроном, географ, философ и врач. Один из крупнейших учёных античности, внёсший фундаментальный вклад в развитие математики (теория пропорций, метод исчерпывания) и астрономии (модель гомоцентрических сфер). Ученик Архита Тарентского и Платона, современник Аристотеля.

¶Биография

Евдокс родился в городе Книд, расположенном на побережье Малой Азии (современная территория Турции). Точные даты его жизни устанавливаются по косвенным данным: согласно античным источникам, он прожил 53 года, а его расцвет (акме) приходится на 103-ю Олимпиаду (368–365 годы до н. э.). Первоначальное образование получил в Книде, где изучал медицину и математику.

В возрасте 23 лет Евдокс отправился в Великую Грецию (Южная Италия), где стал учеником Архита Тарентского — пифагорейца, занимавшегося математикой, астрономией и механикой. Затем, около 380 года до н. э., он перебрался в Афины, где посещал лекции Платона в Академии. Однако из-за разногласий с учителем (по некоторым сведениям, Платон не оценил математические способности Евдокса) он покинул Афины и отправился в Египет.

В Египте Евдокс провёл 16 месяцев, изучая астрономию у жрецов в Гелиополе. Там он, вероятно, познакомился с вавилонскими астрономическими данными, которые впоследствии использовал в своих работах. После возвращения в Грецию он основал собственную школу в Кизике (на побережье Мраморного моря), а затем, около 355 года до н. э., вернулся в Книд, где занимался научной и преподавательской деятельностью до конца жизни.

¶Математические достижения

¶Теория пропорций

Главный математический труд Евдокса — общая теория отношений (пропорций), изложенная в V книге «Начал» Евклида. До Евдокса пифагорейская математика имела дело только с соизмеримыми величинами (то есть такими, отношение которых выражается рациональным числом). Открытие несоизмеримости (например, диагонали квадрата и его стороны) поставило под угрозу основы античной математики.

Евдокс решил эту проблему, определив равенство отношений для любых (в том числе несоизмеримых) величин через аксиому, известную как аксиома Архимеда (хотя она была сформулирована Евдоксом): «Для любых двух неравных величин существует такое целое число, что кратное меньшей превзойдёт большую». На этой основе он построил теорию, позволяющую сравнивать любые однородные величины, что стало основой для строгого обоснования геометрии.

¶Метод исчерпывания

Евдокс разработал метод исчерпывания — предшественник современного интегрального исчисления. Этот метод позволял вычислять площади и объёмы криволинейных фигур путём последовательного приближения их многоугольниками или многогранниками. Ключевая идея: если от величины последовательно отнимать её половину (или любую часть, большую половины), то в конце концов можно получить величину, меньшую любой наперёд заданной.

С помощью этого метода Евдокс доказал:

объём пирамиды равен одной трети объёма призмы с тем же основанием и высотой;
объём конуса равен одной трети объёма цилиндра с тем же основанием и высотой;
площади кругов относятся как квадраты их диаметров.

Эти результаты позже вошли в XII книгу «Начал» Евклида.

¶Астрономия

¶Модель гомоцентрических сфер

Евдокс создал первую геометрическую модель движения небесных тел, основанную на системе вложенных друг в друга сфер, вращающихся вокруг общего центра (Земли). Каждая планета (включая Солнце и Луну) прикреплялась к нескольким сферам, оси вращения которых были наклонены друг к другу. Суммарное движение сфер воспроизводило видимые петлеобразные траектории планет.

Всего Евдокс использовал 27 сфер:

1 сфера для неподвижных звёзд;
3 сферы для Солнца;
3 сферы для Луны;
по 4 сферы для пяти известных тогда планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн).

Модель позволяла качественно объяснить основные астрономические явления: неравномерность движения планет, их попятные движения, изменение яркости. Однако количественные расчёты по этой модели были неточными, что позже привело к её усложнению Каллиппом и Аристотелем (который увеличил число сфер до 55).

¶Астрономические наблюдения

Евдокс составил первый в Греции звёздный каталог, описывающий видимые созвездия и отдельные яркие звёзды. Его поэма «Феномены» (дошедшая до нас в пересказе Арата из Сол) содержала описание небесной сферы и служила практическим руководством для мореплавателей и земледельцев. Он также определил продолжительность солнечного года в 365 дней и 6 часов (с ошибкой около 11 минут).

¶География и философия

¶Географические труды

Евдокс написал сочинение «Объезд земли» (не сохранилось), в котором описал известные тогда регионы ойкумены. Он одним из первых применил математические методы для определения размеров Земли: по его оценке, длина окружности земного шара составляла около 400 000 стадиев (примерно 70 000 км, что на 75% больше реального значения). Несмотря на неточность, сама идея измерения Земли через астрономические наблюдения была новаторской.

¶Философские взгляды

В философии Евдокс придерживался взглядов, близких к пифагорейству и платонизму, но с существенными отличиями. Он полагал, что удовольствие является высшим благом (эвдемонизм), что вызвало критику со стороны Платона и Аристотеля. Евдокс утверждал, что все живые существа стремятся к удовольствию, а значит, оно — естественная цель. При этом он различал удовольствия разумные и чувственные, отдавая предпочтение первым.

¶Влияние и наследие

Труды Евдокса не сохранились в оригинале; они известны по пересказам и цитированию у более поздних авторов — Евклида, Архимеда, Теона Смирнского, Симпликия. Его математические методы легли в основу евклидовой геометрии и оставались непревзойдёнными до XVII века, когда были заменены аналитическими методами Ньютона и Лейбница.

Астрономическая модель Евдокса, хотя и была вытеснена эпициклической системой Птолемея, стала первой попыткой математического описания небесных движений и оказала влияние на развитие астрономии вплоть до Коперника.

В честь Евдокса назван кратер на Луне (диаметр 67 км) и астероид 11709 Евдокс.

¶Источники

Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. Книга VIII.
Симпликий. Комментарий к «Физике» Аристотеля.
Евклид. Начала. Книги V, XII.
Архимед. О шаре и цилиндре.
Heath T. L. A History of Greek Mathematics. Vol. I. — Oxford: Clarendon Press, 1921.
Neugebauer O. A History of Ancient Mathematical Astronomy. — Berlin: Springer, 1975.