Бином Ньютона — формула степеней суммы двух слагаемых¶

Бином Ньютона — это математическая формула, которая позволяет раскрыть степень суммы двух слагаемых, $(a+b)^n$, в виде суммы отдельных слагаемых без скобок. Формула названа в честь английского математика и физика Исаака Ньютона, который в 1665 году обобщил её на произвольные, в том числе дробные и отрицательные, показатели степени. Для натурального показателя $n$ формула была известна раньше — её использовали персидский математик Омар Хайям, немецкий математик Абрам де Мойвр и шотландский математик Джеймс Грегори.

¶Суть простыми словами

Если нужно возвести в степень выражение вида «плюс-минус», например $(x+2)^3$, то раскрыть скобки вручную можно, но долго. Бином Ньютона даёт готовый результат: коэффициенты при каждом слагаемом можно записать сразу, не выполняя умножений. Простыми словами, формула превращает возведение в степень суммы в набор отдельных членов, причём степень первого слагаемого убывает, а второго — растёт от нуля до $n$, а коэффициенты задаются биномиальными коэффициентами.

¶Формула

Для натурального $n$:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$$

Записью $\binom{n}{k}$ обозначается биномиальный коэффициент, который читается как «$n$ по $k$» и вычисляется по формуле:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Здесь $n!$ — факториал числа $n$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Разложение на слагаемые:

$$(a+b)^n = a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n-1} ab^{n-1} + b^n$$

¶Пример

Возьмём $(x+1)^4$. По формуле:

$$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$$

Коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1 — это биномиальные коэффициенты $\binom{4}{0}, \binom{4}{1}, \binom{4}{2}, \binom{4}{3}, \binom{4}{4}$. Их можно найти через факториалы или, что проще, построить треугольник Паскаля.

¶Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — это числовая фигура, в которой каждая строка содержит биномиальные коэффициенты для соответствующего показателя степени. Первую и последнюю единицу в каждой строке дополняют суммами двух соседних чисел из строки выше:

`` 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ``

Например, число 10 в шестой строке — это $\binom{5}{2} = \binom{5}{3}$. Треугольник был описан в XVI–XVII веках, в том числе русским математиком и поэтом Михаилом Ломоносовым, который в 1751 году исследовал его свойства.

¶Свойства биномиальных коэффициентов

• Симметрия: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ — числа в строке треугольника симметричны.
• Сумма всех коэффициентов в строке равна $2^n$.
• Рекуррентное соотношение: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ — основа построения треугольника Паскаля.

¶Обобщение Ньютона

Исаак Ньютон показал, что разложение можно распространить на любую вещественную показатель степени $m$:

$$(a+b)^m = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{m}{k} a^{m-k} b^{k},$$

где $\binom{m}{k} = \frac{m(m-1)\cdots(m-k+1)}{k!}$. Такое разложение сходится при $|b| < |a|$. Обобщённый бином Ньютона применяется в анализе, теории вероятностей и вычислительной математике.

¶История

История формулы связана с изучением степеней бинома ещё в Древней Индии и Китае. В исламской математике разложение $(a+b)^n$ для $n = 3$ использовал Омар Хайям (XI век). В Европе треугольник коэффициентов описали Себастьян Мюглер (1544), Симон Стевин, Блез Паскаль («Трактат о биномиальном треугольнике», 1654) и Джон Уоллис. Исаак Ньютон в труде «De analysi» (1669) и позднейших работах обобщил разложение на произвольные показатели степени, что стало важным шагом к созданию математического анализа.

¶Применение

Бином Ньютона применяется в школьном и университетском курсе алгебры, в комбинаторике для подсчёта сочетаний, в теории вероятностей (биномиальное распределение), в численных методах и в разложении функций в ряды.

¶Интересные факты

• Строка треугольника Паскаля, соответствующая степени $n = 11$, даёт числа, кратные 11 — это свойство позволяет проверять делимость.
• В биномиальном треугольнике скрыты фрактальные структуры: если закрасить только чётные коэффициенты, получается треугольник Серпинского.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Никольский С. М. Математический анализ.
• Виленкин Н. Я. Комбинаторика.
• Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по математическому анализу.