Треугольник как геометрическая фигура¶

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, которые эти точки попарно соединяют. Точки называются вершинами треугольника, отрезки — его сторонами. Треугольник является простейшим многоугольником и одной из базовых фигур евклидовой геометрии; через него определяются многие другие понятия — тригонометрические функции, подобие, площади сложных многоугольников.

¶Основные элементы и обозначения

Вершины треугольника принято обозначать заглавными латинскими буквами (A, B, C), стороны — строчными (a, b, c), причём сторона a лежит против вершины A. Сумма длин трёх сторон называется периметром. Углы при вершинах обозначают греческими буквами (α, β, γ) или через три буквы (∠ABC).

Каждый треугольник имеет:

• три стороны и три угла;
• три высоты — перпендикуляры, опущенные из вершины на противоположную сторону;
• три медианы — отрезки, соединяющие вершину с серединой противоположной стороны;
• три биссектрисы — отрезки, делящие угол пополам.

Точки пересечения этих элементов обладают особыми свойствами: медианы пересекаются в центроиде, который делит каждую из них в отношении 2:1; биссектрисы — в центре вписанной окружности; серединные перпендикуляры — в центре описанной окружности; высоты — в ортоцентре.

¶Сумма углов и неравенство треугольника

Ключевое свойство: сумма внутренних углов любого треугольника на плоскости равна 180° (π радиан). Это утверждение эквивалентно аксиоме о параллельных прямых и не выполняется в неевклидовых геометриях — например, на сфере сумма углов треугольника больше 180°, а в геометрии Лобачевского — меньше.

Неравенство треугольника гласит: длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон и больше их разности. Это условие необходимо и достаточно для существования треугольника с заданными длинами сторон.

¶Классификация

¶По углам

В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а противолежащая сторона — гипотенузой. Для него справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

¶По сторонам

• Разносторонний — все стороны различной длины.
• Равнобедренный — две стороны равны; углы при основании также равны.
• Равносторонний (правильный) — все три стороны равны, каждый угол составляет 60°.

¶Признаки равенства и подобия

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. Существуют три классических признака равенства:

1. по двум сторонам и углу между ними;
2. по стороне и двум прилежащим углам;
3. по трём сторонам.

Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Признаки подобия аналогичны признакам равенства, но формулируются через пропорциональность сторон.

¶Площадь и связанные величины

Площадь треугольника вычисляется несколькими способами:

• через основание и высоту: S = ½·a·h;
• по двум сторонам и углу между ними: S = ½·a·b·sin γ;
• по формуле Герона через полупериметр p: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c));
• через радиус описанной окружности R: S = abc/(4R);
• через радиус вписанной окружности r: S = p·r.

Сумма площадей треугольников, на которые разбивается многоугольник, равна площади этого многоугольника — на этом основан метод триангуляции, широко применяемый в геодезии и картографии.

¶Замечательные точки

Помимо центроида, ортоцентра и центров вписанной и описанной окружностей, выделяют точку пересечения средних линий, точки Нагеля, Жергонна, Лемуана. Для равностороннего треугольника все замечательные точки совпадают. Прямая, на которой лежат ортоцентр, центроид и центр описанной окружности, называется прямой Эйлера.

¶Применение

Треугольник — одна из самых востребованных фигур в науке и технике:

• Строительство и архитектура. Жёсткость треугольной конструкции делает её устойчивой к деформациям; на этом основаны фермы мостов, каркасы крыш, опоры линий электропередачи.
• Тригонометрия и навигация. Соотношения между сторонами и углами треугольника лежат в основе измерения расстояний до недоступных объектов, астрономических расчётов, спутниковой навигации.
• Компьютерная графика. Поверхность трёхмерных моделей аппроксимируется сеткой из треугольников (полигональная сетка); треугольник — минимальный примитив рендеринга.
• Геодезия. Триангуляция позволяет определять координаты точек на местности, измеряя углы между ними.

¶Треугольник в культуре и символике

Фигура имеет древнюю символику. В христианстве равносторонний треугольник нередко служит символом Троицы. В индуизме и буддизме треугольники используются в мандалах и янтрах. В геральдике и военной символике треугольник встречается как элемент эмблем. В музыке треугольник — ударный инструмент в виде изогнутого металлического прута, названный так по форме.

¶Интересные факты

• Треугольник с соотношением сторон 3:4:5 — так называемый египетский — был известен задолго до Пифагора и применялся для построения прямых углов на местности.
• Треугольник Рёло, образованный пересечением трёх кругов, обладает постоянной шириной и применяется в роторных двигателях и свёрлах для квадратных отверстий.
• Треугольник Серпинского — классический фрактал, получаемый последовательным удалением центральных треугольников.
• В сферической геометрии сумма углов треугольника всегда больше 180°, а её превышение пропорционально площади.

¶Источники

• Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7–9 классы.
• Погорелов А. В. Геометрия.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике.
• Коксетер Г. С. Введение в геометрию.
• Математическая энциклопедия.