Биортогональные вейвлеты¶

Биортогональные вейвлеты — это класс функций, используемых в вейвлет-преобразовании, при котором пара взаимно дуальных масштабирующих функций и вейвлетов образует биортогональный базис. В отличие от ортогональных вейвлетов, где одна и та же функция используется и для анализа, и для синтеза, биортогональная схема применяет две разные, но связанные между собой функции, что обеспечивает большую гибкость при проектировании фильтров.

¶Определение и принцип

В биортогональном вейвлет-преобразовании существуют две пары функций: функции анализа (примая) и функции синтеза (двойственная). Условие биортогональности заключается в том, что скалярное произведение вейвлета анализа с вейвлетом синтеза равно нулю, а с масштабирующей функцией синтеза — дельта-функции. Это позволяет достичь идеальной реконструкции сигнала при условии, что фильтры анализа и синтеза удовлетворяют определённым соотношениям.

Математически биортогональность выражается через пары фильтров: низкочастотный фильтр анализа \( h \) и высокочастотный \( g \), а также соответствующие фильтры синтеза \( \tilde{h} \) и \( \tilde{g} \). Условие точного восстановления записывается как: \[ H(z)\tilde{H}(z^{-1}) + G(z)\tilde{G}(z^{-1}) = 2, \] где \( H, G \) — z-преобразования фильтров.

¶История

Концепция биортогональных вейвлетов была формализована в конце 1980-х — начале 1990-х годов в работах Альбера Коэна, Ингрид Добеши и Жана-Кристофа Фово. Развитие направления связано с необходимостью преодолеть ограничения ортогональных вейвлетов, которые не могли обладать одновременно линейной фазой и компактным носителем (кроме тривиального случая вейвлета Хаара). Биортогональные системы позволили создавать симметричные фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ), что критически важно для обработки изображений.

¶Свойства

Основные свойства биортогональных вейвлетов:

Линейная фаза: фильтры анализа и синтеза могут быть симметричными или антисимметричными, что обеспечивает отсутствие фазовых искажений.
Компактный носитель: обе функции (анализа и синтеза) имеют конечную длину, что удобно для численной реализации.
Идеальная реконструкция: при отсутствии квантования коэффициентов сигнал восстанавливается без потерь.
Разная гладкость: функции анализа и синтеза могут иметь разную степень гладкости, что позволяет оптимизировать качество сжатия и устойчивость к шумам.

В отличие от ортогональных вейвлетов, биортогональные не сохраняют энергию сигнала в коэффициентах (теорема Парсеваля не выполняется), однако на практике это редко является существенным ограничением.

¶Классификация и примеры

Наиболее известным семейством биортогональных вейвлетов являются вейвлеты Кoэна — Добеши — Фово (CDF). Они параметризуются двумя числами \( (N, \tilde{N}) \), где \( N \) — число нулевых моментов у фильтра анализа, а \( \tilde{N} \) — у фильтра синтеза. Популярные варианты:

CDF 5/3: используется в стандарте сжатия изображений JPEG 2000 (в режиме без потерь). Обладает линейной фазой и простотой вычислений.
CDF 9/7: применяется в JPEG 2000 (режим с потерями). Обеспечивает лучшую энергетическую компактность по сравнению с 5/3.

Другие примеры — вейвлеты Ле Галла (используются в стандарте MPEG-4), а также семейства, построенные на основе B-сплайнов. Последние дают гладкие функции синтеза, что полезно для графических приложений.

¶Применение

Биортогональные вейвлеты нашли широкое применение в областях, где важна симметрия фильтров и точное восстановление:

Сжатие изображений: стандарты JPEG 2000 и DJVU используют биортогональные вейвлеты CDF.
Обработка сигналов: удаление шума, сглаживание, анализ сигналов с нестационарными характеристиками.
Медицинская визуализация: обработка снимков МРТ и КТ, где критично отсутствие артефактов.
Геофизика и сейсмология: анализ сейсмических данных.
Компьютерная графика: мультиразрешающее представление поверхностей (вейвлет-разложение мешей).

¶Преимущества и недостатки

К преимуществам относятся: линейная фаза, симметрия, возможность точной реконструкции, гибкость при проектировании (можно независимо выбирать свойства анализа и синтеза). Недостатки: отсутствие ортогональности приводит к избыточности представления (для полного восстановления требуется больше коэффициентов), а также к более сложной теоретической базе при оценке ошибок квантования.

¶См. также

¶Источники

Коэн А., Добеши И., Фово Ж.-К. «Biorthogonal bases of compactly supported wavelets» // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1992.
Добеши И. «Десять лекций по вейвлетам» / пер. с англ. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
Малла С. «Вэйвлеты в обработке сигналов» / пер. с англ. — М.: Мир, 2005.

BFOmetr — база данных и аналитика по компаниям России.

На главную BFOmetr →