Якоб Бернулли

Якоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli; 27 декабря 1654 (6 января 1655 по новому стилю), Базель — 16 августа 1705, Базель) — швейцарский математик и механик, профессор Базельского университета. Один из основоположников теории вероятностей и вариационного исчисления, член Парижской академии наук (1699). Старший брат Иоганна Бернулли, дядя Даниила Бернулли. Внёс фундаментальный вклад в развитие математического анализа, комбинаторики и гидростатики.

Биография

Якоб Бернулли родился в Базеле в семье преуспевающего аптекаря и городского советника Николауса Бернулли. Первоначально, по настоянию отца, изучал теологию и философию в Базельском университете, получив в 1671 году степень магистра философии. Однако, вопреки семейной традиции, увлёкся математикой и астрономией, самостоятельно изучая труды Декарта, Валлиса и Барроу.

В 1676 году Якоб отправился в путешествие по Европе, посетив Женеву, Лион, Париж, Лондон и Голландию. В этот период он познакомился с ведущими учёными своего времени, включая Роберта Бойля, Роберта Гука и Исаака Ньютона. В 1681 году в Париже он изучал астрономию и теорию комет. Вернувшись в Базель, в 1683 году начал читать лекции по экспериментальной физике в университете, а в 1687 году занял кафедру математики, которую возглавлял до конца жизни.

Научная деятельность Якоба Бернулли была тесно связана с его младшим братом Иоганном. Между братьями сложились сложные отношения: от плодотворного сотрудничества в 1690-х годах до острого соперничества и публичных споров о приоритете в решении ряда задач (например, о брахистохроне). Якоб скончался в 1705 году от туберкулёза. После его смерти кафедру математики в Базеле занял его брат Иоганн.

Научные достижения

Теория вероятностей

Якоб Бернулли считается одним из главных создателей теории вероятностей как математической дисциплины. Его основополагающий труд «Искусство предположений» (лат. Ars Conjectandi) был опубликован посмертно в 1713 году. В этой книге:

• Дано первое строгое определение вероятности как отношения числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.
• Сформулирована и доказана теорема Бернулли (частный случай закона больших чисел): при неограниченном увеличении числа независимых испытаний частота случайного события сходится по вероятности к его истинной вероятности. Это утверждение легло в основу математической статистики.
• Развита комбинаторика: введены числа Бернулли (последовательность рациональных чисел, используемая при суммировании степеней натуральных чисел), исследованы свойства биномиальных коэффициентов.
• Рассмотрены задачи о повторных независимых испытаниях (схема Бернулли) и распределении вероятностей в азартных играх.

Вариационное исчисление

Якоб Бернулли внёс решающий вклад в создание вариационного исчисления. В 1696 году Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне — кривой наискорейшего спуска материальной точки под действием силы тяжести. Якоб решил эту задачу, используя собственный метод, и в 1697 году опубликовал решение, в котором показал, что брахистохроной является циклоида. В процессе работы он разработал основы вариационного исчисления, включая принцип экстремума функционалов.

Математический анализ

Якоб Бернулли активно развивал методы дифференциального и интегрального исчисления, заложенные Лейбницем. Ему принадлежат:

• Исследование логарифмической спирали (лат. Spira mirabilis), которую он назвал «чудесной спиралью» из-за её свойства самоподобия. Он доказал, что после аффинных преобразований она переходит сама в себя, и завещал выгравировать эту спираль на своём надгробии (что и было выполнено).
• Вывод формулы для суммы бесконечного ряда обратных квадратов (∑ 1/n²), хотя окончательное решение этой задачи (π²/6) получил Эйлер.
• Разработка методов интегрирования рациональных дробей и решение дифференциальных уравнений (в частности, уравнения Бернулли — y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ).

Механика и гидростатика

В области механики Якоб Бернулли занимался теорией упругости и колебаниями. Он вывел дифференциальное уравнение изгиба упругой балки, которое стало основой для расчёта строительных конструкций. В гидростатике он исследовал давление жидкости на стенки сосудов и сформулировал принцип, позже развитый его племянником Даниилом Бернулли (уравнение Бернулли для идеальной жидкости).

Основные труды

• «О движении, сообщении и использовании комет» (лат. De Motu, Communicatione et Usu Cometarum, 1681) — астрономическое сочинение.
• «Искусство предположений» (лат. Ars Conjectandi, 1713, посмертно) — главный труд по теории вероятностей.
• «Математические исследования о рядах» (лат. Positiones Mathematicae de Seriebus, 1689) — работа о бесконечных рядах.
• «О действии сил на упругие тела» (лат. De Actione Virium in Corpora Elastica, 1694) — исследование по теории упругости.

Память

• Именем Якоба Бернулли названы: числа Бернулли, распределение Бернулли, схема Бернулли, лемниската Бернулли (кривая, которую он изучал), а также кратер на Луне (Бернулли).
• В Базеле установлен памятник Якобу Бернулли на фасаде здания университета.
• Изображение логарифмической спирали, выгравированное на его надгробии, стало символом преемственности научных традиций семьи Бернулли.

Источники

• Бернулли Я. Искусство предположений. — М.: Наука, 1986. — 456 с. (Серия «Памятники математической мысли»).
• Математика XVII столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 300 с.
• Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1984. — 285 с.
• Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — М.: МЦНМО, 2001. — 464 с.