Дефективность в математике и теории чисел¶

Дефективность — числовая характеристика, встречающаяся в нескольких разделах математики, обозначающая отклонение объекта от некоего «нормального» или «эталонного» поведения. Наиболее известны понятия дефективности в теории групп, теории чисел и теории динамических систем, где оно измеряет, насколько рассматриваемый объект отличается от «полной» или «бездефектной» модели.

¶Дефективность в теории групп

В теории групп дефективность (defect) связана с представлениями конечных групп. Пусть $G$ — конечная группа, а $p$ — простое число. Подгруппа $H \leq G$ называется $p$-дефективной, если индекс $[G:H]$ не кратен $p$. Число $p$-дефективных подгрупп играет роль в теории Браура и теории представлений: например, теорема Браура о подгруппах утверждает, что характеристические подгруппы (в частности, центр и коммутатор) содержатся во всех $p$-дефективных подгруппах определённого типа.

Понятие дефективности используется при изучении индексов подгрупп, теоремы Сузуки о $p$-дефективных подгруппах и при классификации конечных простых групп. Подгруппа, не являющаяся $p$-дефективной, называется $p$-полной, и переход от одной к другой позволяет разбить задачу о представлениях на более простые случаи.

¶Дефективность в теории чисел

В элементарной теории чисел дефективность числа $n$ определяется через сумму его делителей. Положительное число $n$ называется дефективным (недостаточным), если сумма всех его собственных делителей меньше самого числа:

$$\sigma(n) - n < n,$$

где $\sigma(n)$ — сумма делителей числа $n$. Числа, для которых равенство $\sigma(n) = 2n$, называются совершенными, а числа с $\sigma(n) > 2n$ — избыточными. Дефективных чисел большинство: например, все простые числа, степени простых и большинство составных чисел являются дефективными.

Понятие тесно связано с гипотезой о дружественных числах и проблемой совершенных чисел. Известно, что дефективных чисел бесконечно много — это следует из того, что все степени простых чисел дефективны.

¶Дефективность в теории динамических систем

В теории динамических систем и теории кодирования дефективность обозначает отклонение траектории или слова от заданного шаблона. В комбинаторике на словах дефективным называется слово, содержащее определённые запрещённые подслова или нарушающее заданный паттерн. Такие слова изучаются в связи с автоматами, формальными языками и кодированием информации.

В теории кодирования дефективность используется при анализе помехоустойчивых кодов: она характеризует расстояние между кодовыми словами и допустимыми последовательностями, что важно для коррекции ошибок при передаче данных.

¶Применение

Понятие дефективности применяется в:

• Алгебре — при классификации конечных групп и их представлений;
• Теории чисел — при изучении арифметических функций и классификации чисел по свойствам делителей;
• Комбинаторике — при анализе слов, кодов и формальных языков;
• Динамических системах — при описании отклонений траекторий от канонических моделей.

¶См. также

• Совершенное число
• Сумма делителей
• Представление группы
• Помехоустойчивое кодирование

¶Источники

• Гуревич А. А. «Основы теории групп»
• Нагаев С. А. «Числа и вычисления»
• Линник Ю. В. «Элементы аналитической теории чисел»
• Линд Д., Маркус Б. «Символическая динамика и кодирование»