Деление дробей¶
Деление дробей — арифметическая операция, в результате которой из одной дроби (делимого) получают другую (частное), при умножении которой на делимое восстанавливается исходная дробь. Операция является обратной к умножению дробей и определяется правилом: дробь делится на дробь так, как делимое умножается на обратную к делителю дробь.
¶Основное правило
При делении дроби на дробь делимое умножается на обратную дробь к делителю, то есть дробь переворачивается (числитель и знаменатель меняются местами). Формально:
$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$
где $b \neq 0$, $c \neq 0$, $d \neq 0$.
Пример: $\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$.
¶Частные случаи
¶Деление дроби на натуральное число
Дробь делится на натуральное число так, что знаменатель результата умножается на это число, а числитель остаётся прежним:
$$\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$$
Пример: $\frac{5}{6} : 3 = \frac{5}{18}$.
¶Деление натурного числа на дробь
Натурное число умножается на обратную дробь:
$$n : \frac{c}{d} = n \cdot \frac{d}{c} = \frac{n \cdot d}{c}$$
Пример: $4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
¶Деление смешанных чисел
Смешанные числа перед делением переводят в неправильные дроби, затем применяют общее правило. Например:
$2\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{5}{2} : \frac{3}{4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{6} = 3\frac{1}{3}$.
¶Деление десятичных дробей
Десятичные дроби можно делить, приведя их к общему знаменателю, либо, что проще, умножив делимое и делитель на степень десяти так, чтобы делитель стал целым числом. Например: $0{,}6 : 0{,}04 = 60 : 4 = 15$.
¶Свойства операции
- Обратимость. Если $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$, то $\frac{ad}{bc} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$ — деление обратно умножению.
- Деление на единицу. Любая дробь, разделённая на 1, равна самой себе: $\frac{a}{b} : 1 = \frac{a}{b}$.
- Деление дроби на саму себя. Результат всегда равен 1: $\frac{a}{b} : \frac{a}{b} = 1$ (при $a \neq 0$).
- Деление на ноль. Операция не определена: делитель не может быть равен нулю, так как обратная к нулю дробь не существует.
- Связь с умножением. Деление дроби на дробь можно проверить умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.
¶Типичные ошибки
При выполнении деления дробей чаще всего допускаются следующие ошибки:
- Переворачивают делимое, а не делитель. Правило требует умножить делимое на обратную дробь к делителю; делимое при этом остаётся неизменным.
- Забывают умножить числители и знаменатели попарно. После замены деления умножением нужно перемножить числители между собой и знаменатели между собой.
- Не сокращают дробь. Если в результате дробь можно сократить, это следует сделать для получения простейшей формы.
- Деление на смешанное число без перевода. Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь.
¶Проверка результата
Результат деления проверяют умножением: частное умножают на делитель. Если произведение равно делимому, вычисление выполнено верно. Например, для $\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{15}{8}$: $\frac{15}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$ — делимое восстановлено.
¶Применение
Деление дробей встречается при решении текстовых задач, в вычислениях с долями и процентами, при нахождении доли от величины, в пропорциях и уравнениях. Операция входит в школьный курс математики начальной и основной школы и является основой для изучения рациональных чисел, алгебраических дробей и функций.
Источники:
- Атанасян Л. С. и др. «Математика. 5–6 классы»
- Виленкин Н. Я., Жохов В. И. «Математика. 5 класс»
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Математика. 5 класс»
- Рабочая программа по математике для основной школы (ФГОС)