Диамагнетизм Ландау

Диамагнетизм Ландау — это квантово-механическое явление, заключающееся в возникновении диамагнитного отклика у свободных электронов в металлах и полупроводниках при помещении их во внешнее магнитное поле. В отличие от классического диамагнетизма, связанного с орбитальным движением электронов в атомах, диамагнетизм Ландау обусловлен квантованием орбитального движения свободных носителей заряда в магнитном поле. Этот эффект был теоретически предсказан советским физиком Львом Давидовичем Ландау в 1930 году и является одним из фундаментальных проявлений квантовой природы электронов в конденсированных средах.

История открытия

В 1930 году Лев Ландау, работая в Харьковском физико-техническом институте, опубликовал статью «Диамагнетизм металлов», в которой впервые математически описал поведение свободных электронов в магнитном поле. До этой работы считалось, что диамагнетизм в металлах может быть обусловлен только ионными остовами, а электроны проводимости дают лишь парамагнитный вклад (парамагнетизм Паули). Ландау показал, что свободные электроны, двигаясь по квантованным орбитам, создают диамагнитный момент, по величине равный одной трети парамагнитного момента Паули. Это открытие разрешило противоречие между экспериментальными данными (магнитная восприимчивость многих металлов была слабой и почти не зависела от температуры) и существовавшими теориями.

Физическая природа явления

Квантование Ландау

В классической физике электрон, движущийся в однородном магнитном поле, описывает винтовую линию или окружность (циклотронное движение). В квантовой механике энергия такого движения становится дискретной. Ландау решил уравнение Шрёдингера для свободного электрона в магнитном поле и получил, что энергия поперечного (по отношению к полю) движения электрона может принимать только строго определённые значения:

\[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega_c \]

где:

• \(n = 0, 1, 2, \dots\) — квантовое число (номер уровня Ландау),
• \(\hbar\) — приведённая постоянная Планка,
• \(\omega_c = \frac{eB}{m^}\) — циклотронная частота (зависит от заряда \(e\), массы \(m^\) и индукции магнитного поля \(B\)).

Эти дискретные уровни энергии называются уровнями Ландау. Продольное движение электрона вдоль поля остаётся непрерывным, поэтому полная энергия электрона складывается из энергии уровней Ландау и кинетической энергии вдоль поля.

Магнитный момент

Квантование орбит приводит к тому, что электроны на низких уровнях Ландау имеют меньшую энергию, чем в отсутствие поля. Это снижение энергии системы во внешнем магнитном поле эквивалентно появлению отрицательного магнитного момента (диамагнитного отклика). Математически диамагнитная восприимчивость Ландау \(\chi_{Landau}\) для газа свободных электронов выражается формулой:

\[ \chi_{Landau} = -\frac{1}{3} \chi_{Pauli} = -\frac{\mu_0 \mu_B^2 g(E_F)}{3} \]

где:

• \(\chi_{Pauli}\) — парамагнитная восприимчивость Паули,
• \(\mu_0\) — магнитная постоянная,
• \(\mu_B\) — магнетон Бора,
• \(g(E_F)\) — плотность электронных состояний на уровне Ферми.

Таким образом, полная магнитная восприимчивость свободных электронов в металле складывается из парамагнитного вклада Паули (положительного) и диамагнитного вклада Ландау (отрицательного), причём последний всегда в три раза меньше по модулю. Результирующая восприимчивость оказывается положительной (парамагнитной) для большинства металлов, но слабой — на уровне \(10^{-5} - 10^{-6}\) безразмерных единиц.

Классификация и проявления

Диамагнетизм Ландау в металлах

В металлах с высокой концентрацией электронов проводимости (например, в щелочных металлах — натрии, калии) диамагнетизм Ландау частично компенсирует парамагнетизм Паули. Экспериментально магнитная восприимчивость таких металлов слабо зависит от температуры, что подтверждает теорию Ландау. Однако в некоторых металлах, таких как висмут и сурьма, наблюдается аномально сильный диамагнетизм, который не объясняется вкладом Ландау для свободных электронов. Это связано с особенностями зонной структуры и малой эффективной массой носителей.

Диамагнетизм Ландау в полупроводниках

В полупроводниках с низкой концентрацией носителей заряда (электронов или дырок) диамагнетизм Ландау может быть заметным при низких температурах и сильных магнитных полях. В таких условиях уровни Ландау хорошо разрешены, и наблюдаются осцилляции магнитной восприимчивости — эффект де Гааза — ван Альфена. Этот эффект является прямым экспериментальным подтверждением квантования Ландау: при изменении магнитного поля уровни Ландау поочерёдно пересекают уровень Ферми, что приводит к периодическим изменениям намагниченности образца.

Диамагнетизм Ландау в двумерных системах

В двумерном электронном газе (например, в квантовых ямах или гетероструктурах) квантование Ландау проявляется особенно ярко. Энергия электронов становится полностью дискретной (без непрерывной составляющей вдоль поля), что приводит к возникновению целочисленного квантового эффекта Холла. Диамагнетизм Ландау в таких системах играет ключевую роль в формировании плато холловского сопротивления.

Значение и применение

Фундаментальное значение

Диамагнетизм Ландау является одним из краеугольных камней квантовой теории твёрдого тела. Он демонстрирует, что даже свободные электроны, не связанные с атомами, могут проявлять диамагнитные свойства исключительно за счёт квантования движения. Это явление лежит в основе понимания магнетизма металлов и полупроводников.

Прикладное значение

1. Исследование поверхности Ферми: Эффект де Гааза — ван Альфена, основанный на диамагнетизме Ландау, используется для экспериментального определения формы и размеров поверхности Ферми в металлах и сплавах. Это важнейший метод в физике конденсированного состояния.
2. Квантовые вычисления: Уровни Ландау в двумерных системах используются для создания кубитов в некоторых реализациях квантовых компьютеров (например, на основе дробного квантового эффекта Холла).
3. Магнитные датчики: Осцилляции магнитной восприимчивости, связанные с диамагнетизмом Ландау, могут быть использованы для создания высокочувствительных датчиков магнитного поля, работающих при низких температурах.
4. Магнитная левитация: В сверхпроводниках диамагнетизм Ландау (в сочетании с эффектом Мейснера) обеспечивает полное выталкивание магнитного поля, что используется для магнитной левитации (например, в поездах на магнитной подушке).

Критика и ограничения

Теория диамагнетизма Ландау строго применима только для модели свободных электронов. В реальных металлах и полупроводниках необходимо учитывать:

• Взаимодействие электронов: Электрон-электронное взаимодействие может модифицировать уровни Ландау и влиять на магнитную восприимчивость.
• Зонную структуру: В сложных кристаллах эффективная масса электрона может быть анизотропной, а закон дисперсии — непараболическим, что приводит к отклонениям от простой теории Ландау.
• Примеси и дефекты: Рассеяние электронов на примесях уширяет уровни Ландау, что может подавлять осцилляции восприимчивости.

Тем не менее, для большинства простых металлов (щелочных, благородных) теория Ландау даёт количественное согласие с экспериментом в пределах погрешности измерений.

Интересные факты

• Ландау предсказал этот эффект в возрасте 22 лет, ещё до завершения своей докторской диссертации. Работа была выполнена в условиях крайней бедности: учёный жил в общежитии и использовал для расчётов обрывки бумаги.
• Величина диамагнитного момента Ландау не зависит от температуры, в отличие от классического диамагнетизма Ланжевена, который ослабевает при нагреве.
• В 1990-х годах было обнаружено, что в графене (двумерном материале) уровни Ландау имеют аномальную структуру, что привело к открытию нового типа диамагнетизма — «релятивистского» диамагнетизма Ландау, где электроны ведут себя как безмассовые частицы.

Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 5. Статистическая физика. Часть 1. — М.: Физматлит, 2001.
• Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твёрдого тела. — М.: Мир, 1979.
• Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. — М.: Наука, 1978.
• Ландау Л. Д. Диамагнетизм металлов // Zeitschrift für Physik. — 1930. — Т. 64, № 9-10. — С. 629-637. (Оригинальная статья)
• Шёнберг Д. Магнитные осцилляции в металлах. — М.: Мир, 1984.