Длина вектора¶
Длина вектора — величина, характеризующая «размер» вектора в векторном пространстве; в геометрии и линейной алгебре соответствует длине отрезка, соединяющего начало и конец вектора. В евклидовом пространстве длина вектора обозначается $\|\mathbf{a}\|$ или $|\mathbf{a}|$ и вычисляется как квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя: $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}$.
¶Определение в евклидовом пространстве
Пусть $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ — вектор в $\mathbb{R}^n$ с ортонормированным базисом. Тогда:
$$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}$$
Это следствие формулы скалярного произведения: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = \|\mathbf{a}\|^2$. Для плоскости ($n = 2$) и трёхмерного пространства ($n = 3$) формулы принимают вид:
- $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ — на плоскости;
- $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ — в пространстве.
Формула является обобщением теоремы Пифагора: если вектор разложить по ортогональным осям, его квадрат длины равен сумме квадратов проекций на эти оси.
¶Связь с углом между векторами
Длина вектора тесно связана со скалярным произведением и косинусом угла между двумя векторами:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos\alpha$$
Отсюда следует, что если $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$, то вектора ортогональны, а длина их суммы определяется теоремой Пифагора: $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2$. В общем случае для суммы двух векторов:
$$\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 + 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$$
Это разложение квадрата модуля суммы, часто используемое при решении задач на нахождение длин.
¶Частные случаи
¶Длина вектора по координатам двух точек
Если вектор задан как разность координат двух точек $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ и:
$$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
Это расстояние между точками $A$ и $B$ в евклидовом пространстве.
¶Длина вектора, заданного в базисе
Если вектор выражены через произвольный (не ортонормированный) базис $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}$ как $\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2$, то длина вычисляется через метрический тензор:
$$\|\mathbf{a}\|^2 = a_1^2 \|\mathbf{e}_1\|^2 + a_2^2 \|\mathbf{e}_2\|^2 + 2a_1 a_2 (\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{e}_2)$$
¶Комплексные векторы
В пространстве $\mathbb{C}^n$ длина (норма) вектора $\mathbf{z} = (z_1, \dots, z_n)$ определяется с использованием комплексного сопряжения:
$$\|\mathbf{z}\| = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |z_k|^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} z_k \bar{z}_k}$$
¶Свойства нормы
Длина вектора удовлетворяет аксиомам нормы:
- Положительность: $\|\mathbf{a}\| \geq 0$, причём $\|\mathbf{a}\| = 0$ только при $\mathbf{a} = \mathbf{0}$.
- Однородность: $\|\lambda \mathbf{a}\| = |\lambda| \|\mathbf{a}\|$ для любого скаляра $\lambda$.
- Неравенство треугольника: $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \leq \|\mathbf{a}\| + \|\mathbf{b}\|$.
Из однородности следует, что единичный вектор $\mathbf{e} = \mathbf{a} / \|\mathbf{a}\|$ имеет длину 1 и указывает то же направление, что и $\mathbf{a}$ (при $\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$).
¶Примеры вычислений
Пример 1. Вектор $\mathbf{a} = (3, 4)$: $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Пример 2. Вектор $\mathbf{b} = (1, -2, 2)$: $\|\mathbf{b}\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
Пример 3. Точки $A(1, 2, 3)$ и $B(4, 6, 3)$: $\overrightarrow{AB} = (3, 4, 0)$, $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
Пример 4. Вектор $\mathbf{c} = 2\mathbf{a}$, где $\|\mathbf{a}\| = 3$: $\|\mathbf{c}\| = 2 \cdot 3 = 6$.
¶Обобщения
¶Нормы в общих векторных пространствах
Понятие длины обобщается на произвольные нормированные пространства. Помимо евклидовой нормы $\ell_2$, используются:
- Норма $\ell_1$ (манхэттенская): $\|\mathbf{a}\|_1 = \sum |a_i|$;
- Норма $\ell_\infty$ (чебышёвская): $\|\mathbf{a}\|_\infty = \max |a_i|$;
- Обобщённая $\ell_p$-норма: $\|\mathbf{a}\|_p = \left(\sum |a_i|^p\right)^{1/p}$.
Все они удовлетворяют аксиомам нормы, но соответствуют разным понятиям «расстояния».
¶Расстояние между векторами
Разность длин $\|\mathbf{a} - \mathbf{b}\|$ называется расстоянием между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Именно оно определяет топологию и метрику в пространстве $\mathbb{R}^n$.
¶Применение
Вычисление длин векторов применяется в физике (модуль силы, скорости, напряжённости поля), компьютерной графике (нормализация векторов нормалей, вычисление расстояний), машинном обучении (метрики сходства объектов), навигации и геодезии (расстояния между точками). В численных методах норма вектора используется для оценки погрешности и критериев сходимости итерационных процессов.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Юрайт.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Физматгиз.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука.
- Прокторов Г. А., Черкасов А. А. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Высшая школа.