Двенадцатое задание ЕГЭ по математике (профильный уровень)¶
Двенадцатое задание ЕГЭ по математике (профильный уровень) — это задание повышенной сложности из второй (развёрнутой) части экзамена ЕГЭ по математике профильного уровня, посвящённое решению неравенств: алгебраических, показательных, логарифмических, тригонометрических или содержащих параметр. Задание имеет максимальный первичный балл 2 (из 34 возможных за всю работу) и относится к категории заданий с развёрнутым ответом, то есть требует полного записи решения без вариантов выбора.
¶Структура задания в КИМ
В действующем формате ЕГЭ по математике профильного уровня (профильная математика, 12 заданий второй части) задание № 12 традиционно проверяет умение решать неравенства. Типичные варианты задания включают:
- Алгебраические неравенства с дробно-рациональными выражениями, содержащие корни или абсолютные значения;
- Показательные неравенства вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ с основанием $a$, зависящим от параметра;
- Логарифмические неравенства с логарифмами от линейных или квадратичных выражений;
- Неравенства с модулем, сводящиеся к разбору случаев;
- Неравенства с параметром, где требуется найти все значения параметра, при которых неравенство имеет (или не имеет) решение.
Задание формулируется как «решите неравенство» или «найдите все значения параметра». Ответ должен содержать либо область допустимых значений переменной, либо числовую характеристику (например, сумму всех подходящих значений параметра).
¶Основные методы решения
¶Двухсторонние неравенства
При решении неравенств вида $f(x) > g(x)$ стандартный метод — перенести всё в одну часть и привести к виду $h(x) > 0$. Для дробно-рациональных выражений необходимо:
- Найти ОДЗ (область допустимых значений), исключив нули знаменателей;
- Привести к общему знаменателю;
- Знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя;
- Решить соответствующее множественное неравенство методом интервалов.
¶Метод интервалов
Универсальный инструмент решения рациональных неравенств. Порядок действий: найти корни числителя и нули знаменателя, нанести их на числовую прямую, определить знак выражения на каждом интервале, выбрать интервалы, удовлетворяющие условию. Критическая ошибка, которую допускают абитуриенты, — включение в ответ точек, где знаменатель обращается в ноль.
¶Неравенства с модулем
Для неравенств с модулем $|f(x)| < a$ (при $a > 0$) используется цепочка: $-a < f(x) < a$. Для вида $|f(x)| > a$ — разбиение на два случая: $f(x) < -a$ или $f(x) > a$. Сложные случаи, где модуль содержится в обоих членах, решаются через равносильные замены или разбор случаев по точкам изменения знака внутреннего выражения.
¶Показательные и логарифмические неравенства
Показательное неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ при $a > 1$ равносильно $f(x) > g(x)$, при $0 < a < 1$ — неравенству с обратным знаком. Логарифмическое неравенство $\log_a f(x) > g(x)$ требует одновременного учёта ОДЗ ($f(x) > 0$) и разбора двух случаев в зависимости от основания $a$.
¶Неравенства с параметром
Наиболее сложный подвид задания № 12. Типичная постановка: «Найдите все значения $a$, при которых уравнение/неравенство имеет решение». Основные подходы:
- Метод разделения переменных — выразить параметр через функцию от переменной и исследовать область значений этой функции;
- Графический метод — изобразить семейство кривых и найти условия пересечения;
- Метод касания — для квадратичных и показательных неравенств, когда граница области значений параметра достигается при равенстве дискриминанта нулю.
¶Типичные ошибки
| Ошибка | Последствие |
|---|---|
| Потеря ОДЗ при умножении на выражение с переменной | Потеря корней, неверный ответ |
| Умножение неравенства на отрицательное выражение без смены знака | Неверная область решений |
| Невключение в ответ точек, где неравенство строгое | Неверная запись области решений |
| Рассмотрение только одного случая при разборе модуля | Неполное решение |
| Забывание условия $a > 0$, $a \neq 1$ для логарифма | Некорректное решение |
¶Подготовка к заданию
Рекомендуемый порядок изучения тем для уверенного решения задания № 12:
- Рациональные неравенства и метод интервалов;
- Неравенства с модулем и корнем;
- Показательные и логарифмические функции, их свойства;
- Элементы математического анализа: область значений функции, производная;
- Неравенства с параметром (базовый уровень).
Задание № 12 по сложности занимает промежуточное положение между первым и вторым «квадратом» заданий второй части: оно сложнее заданий № 13–16 базового блока, но проще заданий № 18–19 (самых трудных). По статистике ФИПИ, доля верных решений этого задания составляет около 40–50% от общего числа участников, что делает его одним из ключевых для набора высокого балла.
Источники: официальные демоверсии и спецификации ФИПИ ЕГЭ по математике (профильный уровень), учебная литература по алгебре и началам анализа для 10–11 классов.