Дзета-функция эллиптической кривой

Дзета-функция эллиптической кривой — это арифметический объект, ассоциированный с эллиптической кривой, определённой над конечным полем или над полем рациональных чисел. В первом случае она представляет собой рациональную функцию, полностью описывающую распределение точек на кривой над конечными полями. Во втором случае (для кривых над ℚ) она определяется как произведение по всем простым числам локальных множителей, аналогично дзета-функции Римана, и является центральным объектом гипотезы Берча — Свиннертон-Дайера.

Определение для эллиптических кривых над конечными полями

Пусть \(E\) — эллиптическая кривая, заданная над конечным полем \(\mathbb{F}_q\), где \(q = p^m\) — степень простого числа \(p\). Дзета-функция \(E\) над \(\mathbb{F}_q\) определяется как формальный степенной ряд:

\[ Z(E/\mathbb{F}_q, T) = \exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|E(\mathbb{F}_{q^n})|}{n} T^n \right), \]

где \(|E(\mathbb{F}_{q^n})|\) — число точек на кривой \(E\) (включая бесконечно удалённую точку) над расширением поля \(\mathbb{F}_{q^n}\).

Свойства

• Рациональность. Согласно теореме Хассе — Вейля для эллиптических кривых, \(Z(E/\mathbb{F}_q, T)\) является рациональной функцией вида:

\[ Z(E/\mathbb{F}_q, T) = \frac{1 - a_q T + q T^2}{(1 - T)(1 - q T)}, \]

где \(a_q = q + 1 - |E(\mathbb{F}_q)|\) — след Фробениуса. Эта формула была доказана Хельмутом Хассе в 1930-х годах.

• Функциональное уравнение. Выполняется соотношение:

\[ Z\left( E/\mathbb{F}_q, \frac{1}{qT} \right) = Z(E/\mathbb{F}_q, T). \]

• Гипотеза Римана для кривых над конечными полями. Корни числителя \(1 - a_q T + q T^2\) имеют модуль \(q^{-1/2}\). Это эквивалентно неравенству Хассе: \(|a_q| \leq 2\sqrt{q}\).

Дзета-функция для эллиптических кривых над ℚ

Для эллиптической кривой \(E\), определённой над полем рациональных чисел ℚ, глобальная дзета-функция (или L-функция) определяется как произведение по всем простым числам \(p\):

\[ L(E, s) = \prod_{p \nmid \Delta} \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s}\right)^{-1} \cdot \prod_{p \mid \Delta} \left(1 - a_p p^{-s}\right)^{-1}, \]

где:

• \(\Delta\) — дискриминант кривой (связан с плохой редукцией);
• \(a_p = p + 1 - |E(\mathbb{F}_p)|\) для простых \(p\) хорошей редукции;
• для простых плохой редукции \(a_p\) принимает значения \(0, 1\) или \(-1\) в зависимости от типа редукции (аддитивная, расщепимая мультипликативная, нерасщепимая мультипликативная).

Аналитическое продолжение и функциональное уравнение

Благодаря работам Эндрю Уайлса, Ричарда Тейлора и других (доказательство модулярности эллиптических кривых над ℚ, завершённое в 2001 году), известно, что \(L(E, s)\) аналитически продолжается на всю комплексную плоскость и удовлетворяет функциональному уравнению:

\[ \Lambda(E, s) = \pm \Lambda(E, 2 - s), \]

где \(\Lambda(E, s) = N^{s/2} (2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(E, s)\), а \(N\) — кондуктор кривой.

Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера

Основная нерешённая проблема, связанная с дзета-функцией эллиптической кривой над ℚ, — гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (БСД). Она утверждает, что порядок нуля \(L(E, s)\) в точке \(s = 1\) равен рангу группы рациональных точек \(E(\mathbb{Q})\) (т.е. числу независимых генераторов бесконечного порядка). Кроме того, гипотеза предсказывает точное значение первого ненулевого коэффициента разложения \(L(E, s)\) в точке \(s = 1\) через регулятор, число Тате — Шафаревича и другие инварианты.

Гипотеза БСД является одной из семи «задач тысячелетия» Математического института Клэя, за решение которой объявлена премия в 1 миллион долларов. Частичные результаты получены для эллиптических кривых с комплексным умножением и для кривых ранга 0 и 1.

Связь с модулярными формами

Каждая эллиптическая кривая над ℚ модулярна: существует параболическая модулярная форма \(f\) веса 2 уровня \(N\) (кондуктора), такая что её преобразование Меллина совпадает с \(L(E, s)\). Это утверждение составляет содержание теоремы о модулярности, доказанной для полустабильных кривых Уайлсом и Тейлором, а затем в полном объёме — группой математиков (Брайан Конрад, Фред Даймонд, Ричард Тейлор, Кристоф Бройль и другие). Модулярность позволяет применять к дзета-функции эллиптической кривой мощные методы теории модулярных форм, включая операторы Гекке и ряды Эйзенштейна.

Примеры

Кривая \(y^2 = x^3 - x\) над \(\mathbb{F}_3\)

Поле \(\mathbb{F}_3\) содержит элементы \(\{0, 1, 2\}\). Точки на кривой (включая бесконечно удалённую):

• \(x = 0\): \(y^2 = 0\) → \(y = 0\) → точка \((0,0)\);
• \(x = 1\): \(y^2 = 0\) → \(y = 0\) → точка \((1,0)\);
• \(x = 2\): \(y^2 = 6 \equiv 0\) → \(y = 0\) → точка \((2,0)\).

Всего 4 точки (с бесконечно удалённой). Тогда \(a_3 = 3 + 1 - 4 = 0\). Дзета-функция:

\[ Z(E/\mathbb{F}_3, T) = \frac{1 + 3 T^2}{(1 - T)(1 - 3T)}. \]

Кривая \(y^2 + y = x^3 - x\) над ℚ

Эта кривая (известная как «кривая 37a1» в базе LMFDB) имеет кондуктор \(N = 37\). Её L-функция начинается как:

\[ L(E, s) = 1 - \frac{2}{2^s} - \frac{3}{3^s} + \frac{2}{4^s} + \dots \]

Ранг этой кривой равен 1, что соответствует простому нулю \(L(E, s)\) в точке \(s = 1\).

Применения

• Криптография. Дзета-функция эллиптической кривой над конечным полем используется для оценки числа точек, что критически важно для безопасности эллиптической криптографии (ECDSA, ECDH). Кривые с малым следом Фробениуса могут быть уязвимы для атак.
• Теория чисел. L-функции эллиптических кривых применяются для изучения распределения простых чисел, а также в программе «Ленглендса» как частный случай автоморфных L-функций.
• Вычислительная математика. Алгоритмы вычисления \(L(E, s)\) (например, метод Доккитцера) используются для проверки гипотезы БСД на больших массивах кривых.

Интересные факты

• Дзета-функция эллиптической кривой над конечным полем является частным случаем дзета-функции Хассе — Вейля для алгебраических многообразий.
• В 1970-х годах Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер выдвинули свою гипотезу на основе численных экспериментов с L-функциями, вычисленными на компьютере EDSAC.
• Теорема о модулярности, доказанная Уайлсом, позволила завершить доказательство Великой теоремы Ферма, так как гипотетический контрпример (эллиптическая кривая Фрея) не мог бы быть модулярным.

Источники

• Silverman J. H. The Arithmetic of Elliptic Curves. — Springer, 2009.
• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — Мир, 1988.
• Birch B. J., Swinnerton-Dyer H. P. F. Notes on elliptic curves. I // Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1963.
• Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem // Annals of Mathematics, 1995.
• LMFDB — The L-functions and Modular Forms Database (lmfdb.org).