L-функция

L-функция — это общее название для класса аналитических функций комплексного переменного, которые в теории чисел и смежных областях математики кодируют арифметическую информацию о различных объектах: числовых полях, эллиптических кривых, модулярных формах и представлениях Галуа. L-функции обобщают дзета-функцию Римана и являются центральным объектом многих нерешённых проблем, включая гипотезу Римана и гипотезу Бёрча — Свиннертон-Дайера.

Определение и общие свойства

L-функция обычно определяется как ряд Дирихле (или произведение Эйлера) вида:

\[ L(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1 - a_p p^{-s} + \dots} \]

где \(s\) — комплексное число, \(a_n\) — коэффициенты, отражающие арифметические свойства объекта, а произведение берётся по всем простым числам \(p\). Для большинства L-функций ряд сходится абсолютно при \(\operatorname{Re}(s) > 1\) и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость (кроме, возможно, полюсов). Важнейшими свойствами являются:

• Функциональное уравнение: связывает значения \(L(s)\) и \(L(1-s)\) (или \(L(k-s)\)), часто с участием гамма-функции и модуля.
• Гипотеза Римана: все нетривиальные нули L-функции (кроме тривиальных, связанных с полюсами гамма-функции) лежат на критической прямой \(\operatorname{Re}(s) = 1/2\). Для дзета-функции Римана это не доказано, для многих других L-функций — открытый вопрос.
• Целость или мероморфность: большинство L-функций являются мероморфными функциями, часто целыми (без полюсов в конечной плоскости).

Классификация L-функций

Дзета-функция Римана

Дзета-функция \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) — простейшая L-функция, связанная с распределением простых чисел. Она является частным случаем L-функции Дирихле с тривиальным характером.

L-функции Дирихле

Для характера Дирихле \(\chi\) по модулю \(m\) определяется L-функция:

\[ L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}. \]

Они используются в теории арифметических прогрессий (теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях) и в аналитической теории чисел.

L-функции числовых полей (Дедекинда)

Для числового поля \(K\) (конечного расширения \(\mathbb{Q}\)) дзета-функция Дедекинда \(\zeta_K(s)\) обобщает дзета-функцию Римана. Она кодирует информацию о простых идеалах и единицах поля. Например, её вычет в точке \(s=1\) связан с регулятором и числом классов поля.

L-функции эллиптических кривых (Хассе — Вейля)

Для эллиптической кривой \(E\) над \(\mathbb{Q}\) L-функция определяется через число точек на кривой по модулю простых чисел:

\[ L(E, s) = \prod_{p \nmid \Delta} \frac{1}{1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s}} \cdot \prod_{p \mid \Delta} \frac{1}{1 - a_p p^{-s}}, \]

где \(a_p = p + 1 - |E(\mathbb{F}_p)|\). Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера утверждает, что порядок нуля \(L(E, s)\) в точке \(s=1\) равен рангу группы рациональных точек \(E(\mathbb{Q})\). Эта гипотеза входит в список «Проблем тысячелетия» Института Клэя.

L-функции модулярных форм

Для модулярной формы \(f\) (например, параболической формы веса \(k\)) L-функция определяется через коэффициенты Фурье \(a_n\):

\[ L(f, s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}. \]

Модулярность эллиптических кривых (теорема о модулярности) утверждает, что L-функция любой эллиптической кривой над \(\mathbb{Q}\) совпадает с L-функцией некоторой модулярной формы веса 2. Это было доказано Эндрю Уайлсом и его последователями, что привело к доказательству Великой теоремы Ферма.

L-функции автоморфных форм и представлений Галуа

В рамках программы Ленглендса L-функции сопоставляются автоморфным представлениям редуктивных групп и представлениям группы Галуа. Они объединяют все предыдущие классы и являются ключевым инструментом для изучения взаимосвязей между арифметикой, гармоническим анализом и геометрией.

Функциональное уравнение

Для большинства L-функций существует функциональное уравнение вида:

\[ \Lambda(s) = \varepsilon \cdot \Lambda(1-s), \]

где \(\Lambda(s) = L(s) \cdot \Gamma(s)\) (с соответствующими множителями) — полная L-функция, а \(\varepsilon\) — корень из единицы (знак функционального уравнения). Например, для дзета-функции Римана:

\[ \pi^{-s/2} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s) = \pi^{-(1-s)/2} \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right) \zeta(1-s). \]

Применение в теории чисел

L-функции используются для:

• Распределения простых чисел: через аналитическое продолжение и нули L-функций получают асимптотические формулы для числа простых чисел в арифметических прогрессиях (теорема Дирихле) и для числа простых идеалов (теорема Чеботарёва о плотности).
• Арифметической геометрии: гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера связывает L-функцию эллиптической кривой с её рациональными точками.
• Гипотезы Ленглендса: L-функции автоморфных форм и представлений Галуа предполагаются совпадающими, что даёт глубокие связи между разными областями математики.
• Криптографии: L-функции эллиптических кривых используются в алгоритмах проверки простоты чисел (например, тест Аткина — Мораина) и в криптографии на эллиптических кривых.

История

• 1737 год: Леонард Эйлер ввёл произведение по простым числам для дзета-функции.
• 1837 год: Петер Густав Лежён Дирихле ввёл L-функции с характерами для доказательства теоремы о простых числах в арифметических прогрессиях.
• 1859 год: Бернхард Риман опубликовал мемуар «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», где сформулировал гипотезу Римана.
• 1882 год: Рихард Дедекинд ввёл дзета-функцию числовых полей.
• 1950-е годы: Андре Вейль обобщил L-функции на алгебраические многообразия (гипотезы Вейля).
• 1960-е годы: Роберт Ленглендс сформулировал программу, связывающую L-функции автоморфных форм и представлений Галуа.
• 1994 год: Эндрю Уайлс доказал модулярность полустабильных эллиптических кривых, что привело к доказательству Великой теоремы Ферма.
• 2000-е годы: доказательство модулярности всех эллиптических кривых над \(\mathbb{Q}\) (Кристоф Брёй, Брайан Конрад, Фред Даймонд, Ричард Тейлор).

Интересные факты

• Гипотеза Римана для дзета-функции Римана — одна из семи «Проблем тысячелетия» с призом в 1 миллион долларов США.
• L-функции эллиптических кривых связаны с гипотезой Таниямы — Шимуры, которая была ключевым шагом в доказательстве Великой теоремы Ферма.
• Для некоторых L-функций (например, для L-функций Дирихле с квадратичными характерами) известны явные формулы для функционального уравнения и нулей.
• В 2018 году Питер Сарнак и другие математики активно изучали L-функции в контексте случайных матриц и квантового хаоса.

Критика и нерешённые проблемы

• Гипотеза Римана не доказана ни для одной нетривиальной L-функции, кроме тривиальных случаев.
• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера доказана лишь для эллиптических кривых ранга 0 и 1 (при условии аналитического продолжения L-функции).
• Программа Ленглендса в полном объёме не доказана; для многих групп и полей соответствие между автоморфными формами и представлениями Галуа остаётся гипотезой.
• Вычисление L-функций для конкретных объектов (например, для эллиптических кривых большого дискриминанта) требует сложных вычислительных методов и часто опирается на численные эксперименты.

Источники

• Серр Ж.-П. «Курс арифметики». — М.: Мир, 1972.
• Ленг С. «Алгебраические числа». — М.: Мир, 1979.
• Вейль А. «Основы теории чисел». — М.: Мир, 1972.
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. «Теория чисел». — М.: Наука, 1985.
• Diamond F., Shurman J. «A First Course in Modular Forms». — Springer, 2005.
• Iwaniec H., Kowalski E. «Analytic Number Theory». — AMS, 2004.