След Фробениуса

След Фробениуса — это числовая характеристика эндоморфизма Фробениуса, действующего на когомологиях (например, этальных или кристаллических) алгебраического многообразия над конечным полем. Введён в математику Александром Гротендиком в рамках его программы по доказательству гипотез Вейля. След Фробениуса является ключевым объектом в арифметической геометрии и теории чисел, так как он связывает топологические свойства многообразия с его арифметическими данными, в частности с числом рациональных точек.

Определение

Пусть \(X\) — гладкое проективное многообразие размерности \(n\), определённое над конечным полем \(\mathbb{F}_q\) с \(q\) элементами. Эндоморфизм Фробениуса \(\mathrm{Fr}_q\) действует на \(X\) как возведение координат в \(q\)-ю степень. Этот морфизм индуцирует линейное отображение на этальных когомологиях \(H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{\mathbb{F}}_q}, \mathbb{Q}_\ell)\) (где \(\ell\) — простое число, не равное характеристике поля). След Фробениуса на \(i\)-й группе когомологий определяется как след этого линейного отображения и обозначается \(\mathrm{Tr}(\mathrm{Fr}_q^* \mid H^i)\).

Более формально, для каждого \(i\) от 0 до \(2n\) след Фробениуса — это число \(\alpha_i \in \mathbb{Q}_\ell\), которое является суммой собственных значений (с учётом кратностей) действия Фробениуса на \(H^i\). В силу результатов Гротендика и Делиня эти собственные значения являются алгебраическими числами, и их абсолютные величины (для любого архимедова вложения) равны \(q^{i/2}\) (гипотеза Римана для многообразий над конечными полями, доказанная Делинем).

История

Понятие следа Фробениуса возникло в контексте гипотез Вейля (1949), которые предсказывали, что дзета-функция многообразия над конечным полем является рациональной функцией, удовлетворяет функциональному уравнению и имеет нули и полюса, расположенные на определённых окружностях. Вейль также предположил, что эти нули и полюса связаны с собственными значениями эндоморфизма Фробениуса на когомологиях.

В 1960-х годах Гротендик разработал теорию этальных когомологий, которая позволила определить когомологические группы для многообразий над полями произвольной характеристики. Он показал, что дзета-функция многообразия \(X\) над \(\mathbb{F}_q\) может быть выражена через следы Фробениуса:

\[ Z(X, t) = \prod_{i=0}^{2n} \det(1 - t \cdot \mathrm{Fr}_q^* \mid H^i)^{(-1)^{i+1}}. \]

Это выражение, известное как формула следа Гротендика, стало основой для доказательства рациональности и функционального уравнения дзета-функции. В 1974 году Пьер Делинь завершил доказательство гипотез Вейля, установив, что собственные значения Фробениуса на \(H^i\) являются алгебраическими числами, все архимедовы сопряжённые которых имеют модуль \(q^{i/2}\).

Свойства

След и число точек

Важнейшее свойство следа Фробениуса — его связь с числом рациональных точек многообразия. Для многообразия \(X\) над \(\mathbb{F}_q\) число точек со значениями в расширении \(\mathbb{F}_{q^k}\) задаётся формулой Лефшеца для этальных когомологий:

\[ |X(\mathbb{F}_{q^k})| = \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i \mathrm{Tr}(\mathrm{Fr}_q^{*k} \mid H^i). \]

Здесь \(\mathrm{Fr}_q^{*k}\) — \(k\)-я степень эндоморфизма Фробениуса, а след берётся на каждой группе когомологий. Эта формула является аналогом классической формулы следа для топологических пространств и позволяет вычислять число точек, зная когомологии.

Собственные значения

Собственные значения \(\alpha\) действия Фробениуса на \(H^i\) удовлетворяют следующим условиям:

• Они являются алгебраическими числами.
• Для любого архимедова вложения \(|\alpha| = q^{i/2}\).
• Они являются \(\ell\)-адическими единицами (то есть обратимы в кольце целых \(\ell\)-адических чисел) для \(\ell \neq p\).
• Они сопряжены относительно действия группы Галуа \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)\).

След Фробениуса на \(H^0\) всегда равен 1, так как \(H^0\) одномерна и порождена классом точки, на котором Фробениус действует тривиально. На \(H^{2n}\) след равен \(q^n\), поскольку \(H^{2n}\) одномерна и Фробениус действует умножением на \(q^n\).

Функториальность

След Фробениуса функториален: для морфизма многообразий \(f: X \to Y\) над \(\mathbb{F}_q\) индуцированное отображение на когомологиях \(f^*\) перестановочно с действием Фробениуса, и следы на соответствующих группах связаны. Это свойство используется при изучении мотивных структур и в теории L-функций.

Применение

Дзета-функции и L-функции

След Фробениуса является основным строительным блоком для дзета-функций многообразий и L-функций представлений групп Галуа. Например, L-функция Артина для представления \(\rho\) группы Галуа \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)\) определяется через следы Фробениуса на локальных полях. В глобальном случае, для многообразий над числовыми полями, следы Фробениуса на этальных когомологиях определяют эйлеровы множители L-функции Хассе — Вейля.

Криптография

В криптографии на эллиптических кривых и гиперэллиптических кривых след Фробениуса используется для подсчёта числа точек на кривой над конечным полем. Алгоритм Шуфа (1985) позволяет эффективно вычислять след Фробениуса для эллиптической кривой, что даёт число её рациональных точек. Это критически важно для безопасности криптосистем, основанных на дискретном логарифмировании в группе точек кривой.

Теория представлений

След Фробениуса естественно возникает в теории представлений группы Вейля — Делиня. Он является ключевым инвариантом при классификации \(\ell\)-адических представлений и в программе Ленглендса. В частности, локальные L-функции определяются как характеристические многочлены действия Фробениуса на инвариантах инерции.

Примеры

Эллиптическая кривая

Пусть \(E\) — эллиптическая кривая над \(\mathbb{F}_q\). Её этальные когомологии имеют размерности: \(H^0\) (1), \(H^1\) (2), \(H^2\) (1). След Фробениуса на \(H^1\) обозначается \(a_q\) и называется следом Фробениуса кривой. Число точек на \(E\) равно:

\[ |E(\mathbb{F}_q)| = q + 1 - a_q. \]

Собственные значения на \(H^1\) — это два комплексно-сопряжённых числа \(\alpha\) и \(\overline{\alpha}\) с модулем \(\sqrt{q}\), так что \(a_q = \alpha + \overline{\alpha}\). По теореме Хассе \(|a_q| \leq 2\sqrt{q}\).

Проективная прямая

Для проективной прямой \(\mathbb{P}^1\) над \(\mathbb{F}_q\) когомологии: \(H^0\) (1), \(H^2\) (1). След Фробениуса на \(H^0\) равен 1, на \(H^2\) равен \(q\). Число точек: \(|\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)| = 1 + q = q + 1\), что совпадает с формулой.

Абелево многообразие

Для абелева многообразия размерности \(g\) след Фробениуса на \(H^1\) даёт матрицу размера \(2g \times 2g\), и её след связан с числом точек через формулу Вейля. Собственные значения — это числа Вейля, и их распределение подчиняется гипотезе Римана.

Связь с другими понятиями

След Фробениуса и характеры

След Фробениуса можно рассматривать как значение характера представления группы Галуа \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)\) на элементе Фробениуса. В этом контексте он является аналогом следа матрицы в теории представлений конечных групп.

След Фробениуса и мотивные когомологии

В мотивной теории след Фробениуса появляется как отображение на мотивных когомологиях, и его свойства используются для построения теории мотивов Чжоу и этальных мотивов. Это позволяет унифицировать различные когомологические теории.

След Фробениуса и p-адические когомологии

В кристаллических когомологиях (для полей характеристики \(p\)) также существует аналог следа Фробениуса, который играет роль в теории \(p\)-адических деформаций и в программе Фонтена — Мазура.

Интересные факты

• След Фробениуса может быть вычислен с помощью алгоритма Шуфа для эллиптических кривых за полиномиальное время, что является одним из важнейших достижений вычислительной теории чисел.
• В 2013 году за работы по следам Фробениуса и их приложениям к гипотезам Вейля и программе Ленглендса Пьер Делинь получил Абелевскую премию.
• След Фробениуса на когомологиях с компактным носителем даёт формулу для числа точек, которая обобщается на многообразия с особенностями.
• В теории деформаций след Фробениуса используется для определения высоты формальной группы, что важно в \(p\)-адической теории Ходжа.

Источники

• Делинь П. Доказательство гипотез Вейля // Успехи математических наук, 1975.
• Гротендик А. Формула следа для этальных когомологий // Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie, 1965.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Сильверман Дж. Арифметика эллиптических кривых. — М.: МЦНМО, 2011.
• Мазур Б. Эйлеровы характеристики и след Фробениуса // Inventiones Mathematicae, 1973.