EOQ со скидками

EOQ со скидками (англ. EOQ with discounts, quantity discount EOQ) — это модификация классической модели экономичного размера заказа (EOQ, Economic Order Quantity), которая учитывает возможность получения оптовых скидок от поставщика при заказе партий товара определённого объёма. В отличие от базовой модели, где цена за единицу продукции считается постоянной, модель EOQ со скидками предполагает, что цена единицы товара уменьшается по мере увеличения размера заказа, что влияет на оптимальный объём закупки.

Общие принципы модели

Классическая модель EOQ, разработанная Фордом Харрисом в 1913 году, определяет размер заказа, минимизирующий сумму годовых затрат на хранение запасов и на выполнение заказов. В модели EOQ со скидками в расчёт добавляется третий компонент — стоимость закупки товара, которая зависит от объёма партии. Поставщик предлагает несколько ценовых уровней (ступеней), каждая из которых действует при заказе от определённого минимального количества единиц товара.

Основная задача при использовании модели EOQ со скидками — найти такой размер заказа, при котором общие годовые затраты (сумма затрат на хранение, на выполнение заказов и на закупку товара) будут минимальными. При этом необходимо учитывать, что скидка может быть выгодна только в том случае, если снижение закупочной цены перевешивает рост затрат на хранение из-за увеличения размера партии.

Математическая постановка

Общие годовые затраты (TC, Total Cost) в модели EOQ со скидками выражаются формулой:

\[ TC(Q) = \frac{D}{Q} \cdot S + \frac{Q}{2} \cdot H + D \cdot C(Q) \]

где:

• \(D\) — годовая потребность в товаре (в единицах);
• \(Q\) — размер заказа (в единицах);
• \(S\) — затраты на выполнение одного заказа (постоянные, не зависящие от размера партии);
• \(H\) — затраты на хранение одной единицы товара в год (часто выражаются как процент от цены единицы товара: \(H = i \cdot C\), где \(i\) — ставка хранения);
• \(C(Q)\) — цена единицы товара, зависящая от размера заказа \(Q\) (функция, заданная поставщиком).

Функция \(C(Q)\) обычно представляет собой кусочно-постоянную функцию:

\[ C(Q) = \begin{cases} C_1, & \text{если } Q_1 \leq Q < Q_2 \\ C_2, & \text{если } Q_2 \leq Q < Q_3 \\ \vdots \\ C_n, & \text{если } Q \geq Q_n \end{cases} \]

где \(C_1 > C_2 > \dots > C_n\) — цены на каждом ценовом уровне, а \(Q_1, Q_2, \dots, Q_n\) — минимальные объёмы заказа для получения соответствующей скидки (обычно \(Q_1 = 1\)).

Алгоритм поиска оптимального размера заказа

Поскольку функция общих затрат является кусочно-непрерывной, оптимальный размер заказа находится в несколько этапов. Наиболее распространённый алгоритм включает следующие шаги:

1. Расчёт EOQ для каждого ценового уровня. Для каждого интервала цен \(C_j\) вычисляется классический экономичный размер заказа по формуле:

\[ EOQ_j = \sqrt{\frac{2DS}{i \cdot C_j}} \] где \(i\) — ставка хранения (доля от цены).

1. Корректировка EOQ для каждого уровня. Если рассчитанный \(EOQ_j\) попадает в интервал, для которого действует цена \(C_j\), то он принимается как допустимый для этого уровня. Если \(EOQ_j\) меньше нижней границы интервала (то есть \(EOQ_j < Q_j\)), то допустимым размером заказа для данного уровня считается \(Q_j\) (минимальный объём, дающий скидку). Если \(EOQ_j\) больше верхней границы интервала, то данный уровень не рассматривается, так как для него скидка уже не действует.

1. Расчёт общих годовых затрат для каждого допустимого размера заказа. Для каждого из полученных значений \(Q\) (как скорректированных, так и исходных EOQ, попавших в свой интервал) вычисляется \(TC(Q)\) по общей формуле.

1. Выбор минимального значения. Размер заказа, при котором общие годовые затраты минимальны, является оптимальным для данной модели.

Особенности и допущения

Модель EOQ со скидками, как и классическая EOQ, основана на ряде допущений:

• Спрос на товар известен и постоянен в течение года.
• Время выполнения заказа (lead time) равно нулю или постоянно.
• Затраты на выполнение заказа и на хранение известны и не зависят от размера заказа (за исключением того, что затраты на хранение могут зависеть от цены товара).
• Дефицит товара не допускается.
• Скидки предоставляются на весь объём заказа (all-units discount), а не на incremental discount (скидка только на дополнительный объём сверх порога).

На практике наиболее часто встречаются скидки на весь объём (all-units discount), когда при заказе от определённого количества цена снижается для всех единиц в партии. Реже применяются инкрементальные скидки, при которых сниженная цена действует только на единицы, превышающие пороговое значение.

Пример расчёта

Пусть годовая потребность \(D = 1000\) единиц, затраты на выполнение заказа \(S = 100\) рублей, ставка хранения \(i = 20\%\) (0,2). Поставщик предлагает следующие цены:

• при заказе от 1 до 99 единиц: \(C_1 = 50\) руб./ед.;
• при заказе от 100 до 499 единиц: \(C_2 = 45\) руб./ед.;
• при заказе от 500 единиц: \(C_3 = 40\) руб./ед.

1. Расчёт EOQ для каждого уровня:

• \(EOQ_1 = \sqrt{2 \cdot 1000 \cdot 100 / (0,2 \cdot 50)} = \sqrt{200000 / 10} = \sqrt{20000} \approx 141,4\) единиц. Полученное значение (141,4) не попадает в интервал [1, 99], поэтому для первого уровня допустимым размером заказа является \(Q_1 = 99\) (верхняя граница интервала, дающая максимальную скидку для этого уровня).
• \(EOQ_2 = \sqrt{2 \cdot 1000 \cdot 100 / (0,2 \cdot 45)} = \sqrt{200000 / 9} \approx \sqrt{22222,2} \approx 149,1\) единиц. Это значение попадает в интервал [100, 499], поэтому \(Q_2 = 149,1\) (округляется до 149).
• \(EOQ_3 = \sqrt{2 \cdot 1000 \cdot 100 / (0,2 \cdot 40)} = \sqrt{200000 / 8} = \sqrt{25000} = 158,1\) единиц. Это значение меньше нижней границы интервала (500), поэтому допустимым размером заказа для третьего уровня является \(Q_3 = 500\).

1. Расчёт общих затрат:

• Для \(Q = 99\): \(TC = (1000/99) \cdot 100 + (99/2) \cdot (0,2 \cdot 50) + 1000 \cdot 50 = 1010,1 + 495 + 50000 = 51505,1\) руб.
• Для \(Q = 149\): \(TC = (1000/149) \cdot 100 + (149/2) \cdot (0,2 \cdot 45) + 1000 \cdot 45 = 671,1 + 670,5 + 45000 = 46341,6\) руб.
• Для \(Q = 500\): \(TC = (1000/500) \cdot 100 + (500/2) \cdot (0,2 \cdot 40) + 1000 \cdot 40 = 200 + 2000 + 40000 = 42200\) руб.

1. Минимальные затраты достигаются при \(Q = 500\) единиц. Таким образом, оптимальным является заказ партии в 500 единиц, несмотря на то, что классический EOQ для самой низкой цены (158,1) значительно меньше.

Применение на практике

Модель EOQ со скидками широко используется в управлении запасами на предприятиях оптовой и розничной торговли, в производственных компаниях, а также в логистике. Она позволяет обоснованно принимать решения о закупке крупных партий товара, когда поставщик предлагает прогрессивные скидки. Применение модели особенно актуально в отраслях с высокой стоимостью хранения (например, скоропортящиеся товары, электроника) и при значительных затратах на оформление заказа.

В российской практике модель EOQ со скидками часто используется при планировании закупок в крупных торговых сетях, на промышленных предприятиях и в государственных закупках, где объём партии может существенно влиять на конечную цену контракта. Однако на практике часто вводятся дополнительные ограничения, такие как лимиты складских площадей, минимальные партии отгрузки, сезонные колебания спроса, что требует адаптации модели.

Критика и ограничения

Основные недостатки модели EOQ со скидками связаны с её допущениями. На практике спрос редко бывает постоянным и известным, затраты на хранение могут варьироваться, а скидки могут быть нелинейными или предоставляться на ограниченный период. Кроме того, модель не учитывает возможность дефицита, страховые запасы, а также транспортные расходы, которые могут меняться в зависимости от размера партии.

В некоторых случаях скидки могут быть настолько глубокими, что заказ больших партий становится выгодным даже при значительном увеличении затрат на хранение. Однако это может привести к замораживанию оборотных средств и увеличению риска устаревания товара. Поэтому на практике решения о закупке крупных партий принимаются с учётом не только математической модели, но и финансовых возможностей компании, прогнозов спроса и условий хранения.

Источники

• Harris, F. W. (1913). How Many Parts to Make at Once. Factory, The Magazine of Management, 10(2), 135–136.
• Silver, E. A., Pyke, D. F., & Thomas, D. J. (2016). Inventory and Production Management in Supply Chains. 4th ed. Springer.
• Tersine, R. J. (1994). Principles of Inventory and Materials Management. 4th ed. Prentice Hall.
• Гаджинский, А. М. (2019). Логистика: учебник для бакалавров. 20-е изд. М.: Дашков и К.
• Неруш, Ю. М., Неруш, А. Ю. (2020). Логистика: учебник для вузов. 5-е изд. М.: Юрайт.