Эррет Бишоп

Эррет Бишоп (англ. Erret Bishop, полное имя — Эррет Уильям Бишоп, Errett William Bishop; 14 июля 1928, Нью-Йорк — 14 апреля 1983, Сан-Диего) — американский математик, известный как основоположник конструктивного анализа — направления в математике, которое требует явного построения объектов для доказательства их существования, в отличие от классической математики, допускающей неконструктивные доказательства.

Биография

Эррет Бишоп родился в Нью-Йорке в семье математика. Его отец, Эррет Уильям Бишоп-старший, был профессором математики в Колумбийском университете. В 1945 году Бишоп поступил в Гарвардский университет, где в 1949 году получил степень бакалавра. В 1952 году он защитил докторскую диссертацию в Чикагском университете под руководством Пола Коэна, тема диссертации была связана с теорией функций.

После защиты Бишоп работал в Принстонском университете, а затем в Калифорнийском университете в Беркли. В 1960 году он перешёл в Калифорнийский университет в Сан-Диего, где работал до конца жизни. В 1970 году Бишоп был избран членом Национальной академии наук США.

Научная деятельность

Конструктивный анализ

Основной вклад Бишопа в математику — создание и развитие конструктивного анализа. В 1967 году вышла его монография «Основы конструктивного анализа» (англ. Foundations of Constructive Analysis), которая стала фундаментальным трудом в этой области. В этой работе Бишоп предложил систему аксиом и методов, позволяющих строить математические объекты (например, числа, функции, множества) явно, без использования аксиомы выбора или закона исключённого третьего в неконструктивной форме.

Конструктивный анализ Бишопа отличается от классического анализа тем, что:

• существование объекта доказывается только при наличии алгоритма его построения;
• все утверждения должны быть проверяемы на конечном числе шагов;
• отрицание утверждения не считается доказательством его ложности без явного контрпримера.

Другие направления

Помимо конструктивного анализа, Бишоп занимался теорией функций, комплексным анализом и теорией приближений. В 1960-х годах он разработал концепцию «бишоповских пространств» — обобщений банаховых пространств, используемых в конструктивном анализе. Также он внёс вклад в теорию меры и интеграла, предложив конструктивные версии интеграла Лебега.

Критика и влияние

Работы Бишопа вызвали дискуссии в математическом сообществе. Сторонники классической математики, такие как Курт Гёдель и Джон фон Нейман, критиковали его подход за излишнюю ограниченность, указывая, что многие важные теоремы (например, теорема о промежуточном значении) в конструктивном анализе либо не доказуемы, либо требуют сложных переформулировок. В то же время конструктивный анализ Бишопа получил признание среди математиков, работающих в области вычислительной математики и теории алгоритмов, так как его методы позволяют создавать алгоритмы, реализуемые на компьютерах.

Влияние Бишопа распространилось на такие области, как:

• теория вычислимости;
• математическая логика;
• теория доказательств;
• информатика (особенно в области формальной верификации).

Основные труды

• Bishop, E. (1967). Foundations of Constructive Analysis. McGraw-Hill.
• Bishop, E., & Bridges, D. (1985). Constructive Analysis. Springer-Verlag (переработанное издание).
• Bishop, E. (1970). «A constructive approach to measure theory». Proceedings of the National Academy of Sciences, 65(2), 289–294.

Интересные факты

• Бишоп был известен своим строгим стилем преподавания и требовательностью к студентам. Он считал, что математика должна быть понятна каждому, кто готов приложить усилия.
• В 1970-х годах Бишоп активно участвовал в дискуссиях о философских основаниях математики, выступая против «платонизма» — представления о том, что математические объекты существуют независимо от человеческого сознания.
• Несмотря на его вклад в конструктивный анализ, Бишоп не был сторонником интуиционизма Лейтцена Брауэра, считая его слишком радикальным.

Источники

• Bishop, E. (1967). Foundations of Constructive Analysis. McGraw-Hill.
• Bishop, E., & Bridges, D. (1985). Constructive Analysis. Springer-Verlag.
• Beeson, M. (1985). Foundations of Constructive Mathematics. Springer-Verlag.
• Математическая энциклопедия (1982). Том 1. Советская энциклопедия.