Expected Shortfall

Expected Shortfall (ES, ожидаемый дефицит, условное значение риска, средние потери за порогом) — это финансовая мера риска, оценивающая среднюю величину потерь в хвосте распределения доходности портфеля или актива за заданным уровнем доверия. В отличие от Value at Risk (VaR), который показывает максимальные потери с заданной вероятностью, ES учитывает все потери, превышающие этот порог, что делает его более чувствительным к экстремальным событиям и «толстым хвостам» распределений.

История и развитие

Концепция Expected Shortfall возникла как развитие и критика меры Value at Risk, получившей широкое распространение в 1990-х годах после публикации отчёта J.P. Morgan «RiskMetrics» (1994). VaR критиковали за неспособность учитывать потери за порогом и за то, что он может нарушать свойство субаддитивности — одно из ключевых требований к когерентным мерам риска.

В 1997 году Филипп Артцнер, Фредди Дельбен, Жан-Марк Эбер и Дидье Хит в статье «Coherent Measures of Risk» сформулировали четыре аксиомы когерентной меры риска: монотонность, субаддитивность, положительная однородность и инвариантность относительно сдвига. Они показали, что VaR не является когерентной мерой, а ES удовлетворяет всем аксиомам. Это открытие стимулировало развитие ES как альтернативы.

В 2000-х годах ES начал активно внедряться в банковском регулировании. Базельский комитет по банковскому надзору в рамках Базеля II (2004) рекомендовал использовать VaR, но уже в Базеле III (2010) ES был предложен в качестве основной меры рыночного риска. С 2016 года ES стал обязательным для расчёта регуляторного капитала под рыночный риск в рамках стандартизированного подхода и внутренних моделей.

Определение и математическая формулировка

Expected Shortfall определяется как условное математическое ожидание потерь при условии, что потери превышают заданный квантиль распределения. Для непрерывного распределения доходности \( L \) (где \( L \) — потери, положительные значения означают убытки) с уровнем доверия \( \alpha \in (0,1) \) ES равен:

\[ ES_\alpha(L) = \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} VaR_u(L) \, du \]

где \( VaR_u(L) \) — Value at Risk на уровне \( u \). Для дискретных распределений ES вычисляется как среднее арифметическое потерь, превышающих VaR, с учётом весов.

На практике ES часто рассчитывают для уровней доверия 95 %, 97,5 % или 99 %. Например, для портфеля с дневной доходностью ES на уровне 99 % показывает среднюю величину потерь в 1 % худших дней.

Свойства и преимущества

Когерентность

Expected Shortfall является когерентной мерой риска, то есть удовлетворяет четырём аксиомам:

• Монотонность: если один портфель всегда даёт большие потери, чем другой, его риск выше.
• Субаддитивность: риск объединённого портфеля не превышает суммы рисков отдельных активов. Это свойство важно для диверсификации и отсутствует у VaR.
• Положительная однородность: риск пропорционален размеру позиции.
• Инвариантность относительно сдвига: добавление безрискового актива снижает риск на величину этого актива.

Чувствительность к хвостам распределения

ES учитывает все потери за порогом, что делает его более репрезентативным для экстремальных событий, таких как финансовые кризисы. Например, если распределение доходности имеет «толстый хвост» (как у многих финансовых активов), VaR может недооценивать риск, а ES — давать более реалистичную оценку.

Выпуклость и оптимизация

ES является выпуклой функцией от весов портфеля, что позволяет использовать методы выпуклой оптимизации для построения портфелей с минимальным риском. Это упрощает задачу управления рисками по сравнению с VaR, который не является выпуклым.

Недостатки и критика

Сложность оценки

Расчёт ES требует оценки всего хвоста распределения, что сложнее, чем вычисление одного квантиля VaR. Для этого необходимы методы моделирования, такие как историческая симуляция, параметрические модели (например, GARCH) или метод Монте-Карло. Это увеличивает вычислительные затраты и чувствительность к предположениям о распределении.

Зависимость от модели

ES чувствителен к выбору модели распределения доходности. При использовании нормального распределения ES может быть недооценён, так как реальные финансовые ряды имеют «толстые хвосты». Применение распределений с тяжёлыми хвостами (например, t-распределения Стьюдента) даёт более консервативные оценки.

Проблема обратного тестирования

В отличие от VaR, который можно проверить с помощью бинарного теста (превышение или нет), обратное тестирование ES сложнее, так как требует сравнения средних потерь в хвосте с прогнозом. Это ограничивает его использование в регуляторной практике, хотя существуют методы, такие как тест Макнила-Фрея (2000).

Применение в финансовой практике

Управление рыночным риском

ES используется банками, инвестиционными фондами и страховыми компаниями для оценки риска портфелей ценных бумаг, валют, товаров и деривативов. В рамках Базеля III ES применяется для расчёта капитала под рыночный риск: банки должны поддерживать капитал, покрывающий ES на уровне 97,5 % с периодом удержания 10 дней.

Стресс-тестирование

ES часто комбинируют со сценариями стресс-тестов, чтобы оценить влияние экстремальных событий, таких как кризис 2008 года или пандемия COVID-19. Например, историческая симуляция ES на данных за 2008 год может показать средние потери в худшие дни кризиса.

Оптимизация портфеля

ES используется в задачах построения портфелей с минимальным риском (min-ES) или с заданным уровнем риска. В отличие от минимизации дисперсии (подход Марковица), ES учитывает асимметрию и «толстые хвосты», что актуально для активов с негативной скошенностью (например, опционы).

Кредитный и операционный риск

Хотя ES изначально разработан для рыночного риска, его адаптируют для кредитного риска (оценка потерь по кредитному портфелю) и операционного риска (потери от сбоев, мошенничества). В этих областях распределения потерь часто имеют «толстые хвосты», и ES даёт более адекватную оценку, чем VaR.

Пример расчёта

Рассмотрим портфель с дневной доходностью за 1000 дней. Упорядочим потери по убыванию (от самых больших к наименьшим). Для уровня доверия 95 % VaR равен 50-му наибольшему убытку (5 % от 1000 = 50). ES на уровне 95 % равен среднему арифметическому 50 наибольших убытков. Если эти убытки составляют, например, 10, 9,8, 9,5, ..., 5 млн рублей, то ES = (10 + 9,8 + ... + 5) / 50. Для уровня 99 % берутся 10 наибольших убытков.

Сравнение с другими мерами риска

Регуляторный статус

С 2016 года Базельский комитет рекомендует ES для расчёта рыночного риска в рамках стандартизированного подхода и внутренних моделей. В России Банк России в Положении № 511-П (2018) установил ES на уровне 97,5 % для расчёта нормативов достаточности капитала банков. Европейское банковское управление (EBA) и другие регуляторы также внедряют ES в своих юрисдикциях.

Интересные факты

• В 2012 году в журнале «Risk» была опубликована статья, в которой показано, что при некоторых условиях ES может быть менее устойчивым к выбросам, чем VaR, из-за усреднения экстремальных значений.
• ES иногда называют CVaR (Conditional Value at Risk), хотя технически CVaR — это частный случай ES для непрерывных распределений.
• В 2016 году Нобелевский лауреат Роберт Энгл предложил использовать ES для оценки системного риска финансовой системы.

Источники

• Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. «Coherent Measures of Risk» (1999)
• Basel Committee on Banking Supervision. «Minimum capital requirements for market risk» (2016)
• McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. «Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools» (2015)
• Положение Банка России № 511-П «О порядке расчёта нормативов достаточности капитала» (2018)
• J.P. Morgan. «RiskMetrics Technical Document» (1996)