Формула арифметической прогрессии¶
Формула арифметической прогрессии — математическое выражение, позволяющее вычислить любой член арифметической прогрессии, а также сумму её первых членов. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d, называемого разностью прогрессии. Формулы n-го члена и суммы лежат в основе значительного раздела элементарной алгебры и широко применяются в задачах на последовательности, финансовых расчётах и прикладных вычислениях.
¶Определение и основные понятия
Арифметическая прогрессия задаётся первым членом a₁ и разностью d. Общий вид последовательности:
a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d, …
Каждый член обозначается aₙ, где n — его номер. Разность определяется как d = aₙ₊₁ − aₙ и может быть положительной, отрицательной или равной нулю. При d > 0 прогрессия возрастает, при d < 0 — убывает, при d = 0 все члены равны и последовательность постоянна.
Характеристическое свойство: каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2.
¶Формула n-го члена
Основная формула арифметической прогрессии выражает n-й член через первый член и разность:
aₙ = a₁ + (n − 1) · d
Вывод основан на последовательном прибавлении d: чтобы дойти от a₁ до aₙ, нужно сделать n − 1 шаг. Формула позволяет находить любой член, не вычисляя все предыдущие.
Пример: при a₁ = 3 и d = 5 пятый член равен a₅ = 3 + 4 · 5 = 23.
Если известны два произвольных члена aₘ и aₙ, разность находится как d = (aₙ − aₘ) / (n − m), а сам член — по формуле aₙ = aₘ + (n − m) · d.
¶Формула суммы первых n членов
Сумма первых n членов обозначается Sₙ. Существуют две равносильные формы записи:
Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
Sₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) · n / 2
Первая формула удобна, когда известен последний член, вторая — когда известны только a₁ и d. Исторически приём суммирования связывают с Карлом Гауссом, который в детстве быстро сложил числа от 1 до 100, заметив, что попарные суммы крайних членов равны.
Пример: сумма первых 10 членов прогрессии с a₁ = 3 и d = 5. Найдём a₁₀ = 3 + 9 · 5 = 48, тогда S₁₀ = (3 + 48) · 10 / 2 = 255.
¶Свойства и связь с другими понятиями
Арифметическая прогрессия обладает рядом свойств:
- Суммы членов, равноудалённых от концов конечного отрезка последовательности, равны: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …
- Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда её n-й член — линейная функция от n: aₙ = k·n + b, где k = d, b = a₁ − d.
- График зависимости aₙ от n — множество точек на прямой.
Арифметическая прогрессия — дискретный аналог линейной функции; геометрическая прогрессия, где каждый член получается умножением на постоянное число, является её «мультипликативным» аналогом.
¶Применение
Формулы применяются в школьном курсе алгебры, в задачах на движение с равномерным изменением скорости, при расчёте простых процентов, в строительстве и экономике при оценке равномерно растущих или убывающих величин. Например, число мест в зрительном зале при равномерном увеличении рядов описывается арифметической прогрессией.
¶Историческая справка
Задачи на арифметические последовательности встречаются в древнеегипетском папирусе Ринда (около 1650 года до н. э.) и в клинописных табличках Вавилона. Систематическое изложение дал древнегреческий математик Диофант. В Европе формулы суммирования разрабатывали математики эпохи Возрождения, а современная символика закрепилась в XVII–XVIII веках.
¶Примеры решения задач
Задача 1. Найти 15-й член прогрессии: 7, 11, 15, … Здесь a₁ = 7, d = 4. a₁₅ = 7 + 14 · 4 = 63.
Задача 2. Сумма первых 20 членов при a₁ = −5, d = 3. a₂₀ = −5 + 19 · 3 = 52. S₂₀ = (−5 + 52) · 20 / 2 = 470.
Задача 3. Является ли число 100 членом прогрессии 4, 10, 16, …? Из aₙ = 4 + (n − 1) · 6 = 100 следует n − 1 = 16, n = 17 — целое, значит число является 17-м членом.
¶Типичные ошибки
Распространённая ошибка — использование множителя n вместо (n − 1) в формуле n-го члена. Также путают формулы суммы арифметической и геометрической прогрессий. При отрицательной разности важно следить за знаком при подстановке.
¶Обобщения
Понятие обобщается на арифметические последовательности высших порядков, где разности сами образуют прогрессию. В анализе аналогом служит линейная интерполяция, а в теории чисел — арифметические прогрессии простых чисел, изучаемые в теореме Дирихле.
Источники: учебники алгебры для средней школы, справочники по элементарной математике, энциклопедические издания по математике.