Формула Блэка — Шоулза

Формула Блэка — Шоулза (также модель Блэка — Шоулза) — это математическая модель, используемая для определения теоретической цены европейских опционов (колл и пут) на активы, не выплачивающие дивиденды в течение срока действия опциона. Модель была разработана в начале 1970-х годов американскими экономистами Фишером Блэком и Майроном Шоулзом; значительный вклад в её развитие внёс Роберт Мертон. Формула Блэка — Шоулза стала одним из краеугольных камней современной финансовой теории, за что Шоулз и Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономике в 1997 году (Блэк скончался в 1995 году и не мог быть удостоен премии). Модель широко применяется трейдерами, инвесторами и риск-менеджерами для оценки опционов, управления рисками и выявления рыночных аномалий.

История создания

До появления модели Блэка — Шоулза оценка опционов была в значительной степени эмпирической и не имела строгого теоретического обоснования. В 1900 году французский математик Луи Башелье в своей диссертации «Теория спекуляции» впервые предложил использовать броуновское движение для моделирования цен акций, однако его работа не получила широкого признания в финансовом сообществе. В 1960-х годах экономисты, такие как Пол Самуэльсон и Джеймс Тобин, предпринимали попытки формализовать оценку опционов, но их модели были неполными.

Ключевой прорыв произошёл в начале 1970-х годов. Фишер Блэк, работавший в консалтинговой фирме Arthur D. Little, и Майрон Шоулз, профессор Массачусетского технологического института (MIT), начали совместную работу над проблемой ценообразования опционов. Они пришли к выводу, что можно создать безрисковый портфель, состоящий из опциона и определённого количества базового актива, и что доходность такого портфеля должна равняться безрисковой процентной ставке. Это наблюдение позволило вывести дифференциальное уравнение, описывающее изменение цены опциона во времени.

В 1973 году Блэк и Шоулз опубликовали статью «The Pricing of Options and Corporate Liabilities» в журнале Journal of Political Economy. Почти одновременно Роберт Мертон, также работавший в MIT, опубликовал статью «Theory of Rational Option Pricing», в которой обобщил и строго математически обосновал модель, введя понятие непрерывного времени и стохастического исчисления. Мертон также расширил модель на случай опционов на акции, выплачивающие дивиденды. В том же году Чикагская биржа опционов (CBOE) начала торговлю стандартизированными опционами, что создало практическую потребность в такой модели.

Основные допущения модели

Модель Блэка — Шоулза основана на ряде упрощающих допущений, которые в реальности часто не выполняются, но позволяют получить аналитическое решение:

• Европейский опцион: опцион может быть исполнен только в дату истечения.
• Базовый актив не выплачивает дивиденды в течение срока действия опциона (для базовой модели).
• Отсутствие транзакционных издержек и налогов.
• Безрисковая процентная ставка постоянна и известна на весь срок.
• Цена базового актива следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильностью и отсутствием скачков.
• Рынок является совершенным: отсутствуют арбитражные возможности, можно покупать и продавать любые дробные доли активов.
• Возможность непрерывной торговли и коротких продаж без ограничений.

Формула

Формула Блэка — Шоулза для цены европейского опциона колл (C) и опциона пут (P) выглядит следующим образом:

\[ C = S_0 \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2) \]

\[ P = K \cdot e^{-rT} \cdot N(-d_2) - S_0 \cdot N(-d_1) \]

где:

\[ d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}} \]

\[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} \]

Обозначения:

• \(S_0\) — текущая цена базового актива.
• \(K\) — цена исполнения (страйк) опциона.
• \(T\) — время до истечения опциона (в годах).
• \(r\) — безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая).
• \(\sigma\) — волатильность доходности базового актива (стандартное отклонение).
• \(N(x)\) — функция стандартного нормального распределения (кумулятивная функция распределения).

Функция \(N(d)\) даёт вероятность того, что случайная величина, распределённая по стандартному нормальному закону, будет меньше или равна \(d\). Таким образом, \(N(d_1)\) и \(N(d_2)\) можно интерпретировать как вероятности, связанные с исполнением опциона в риск-нейтральном мире.

Интерпретация и греки

Интерпретация слагаемых

В формуле колл-опциона:

• \(S_0 \cdot N(d_1)\) — ожидаемая стоимость базового актива при условии, что опцион будет исполнен, умноженная на вероятность исполнения.
• \(K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2)\) — приведённая стоимость цены исполнения, умноженная на вероятность того, что опцион будет исполнен.

Разность этих величин даёт текущую справедливую цену опциона.

Коэффициенты чувствительности («греки»)

Модель Блэка — Шоулза позволяет вычислить частные производные цены опциона по различным параметрам, которые называются «греками» (greeks). Они используются для управления рисками:

• Дельта (\(\Delta\)): чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива. Для колла \(\Delta = N(d_1)\), для пута \(\Delta = N(d_1) - 1\).
• Гамма (\(\Gamma\)): чувствительность дельты к изменению цены базового актива (вторая производная цены опциона по цене актива). \(\Gamma = \frac{N'(d_1)}{S_0 \sigma \sqrt{T}}\).
• Вега (\(\nu\)): чувствительность цены опциона к изменению волатильности. \(\nu = S_0 \sqrt{T} N'(d_1)\).
• Тета (\(\Theta\)): чувствительность цены опциона к изменению времени до истечения (временной распад). Для колла \(\Theta = -\frac{S_0 N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T}} - rK e^{-rT} N(d_2)\).
• Ро (\(\rho\)): чувствительность цены опциона к изменению безрисковой ставки. Для колла \(\rho = K T e^{-rT} N(d_2)\).

Применение и ограничения

Применение

• Оценка справедливой стоимости: трейдеры и маркет-мейкеры используют формулу для определения теоретической цены опциона и выявления переоценённых или недооценённых инструментов.
• Хеджирование: «греки» позволяют строить безрисковые или нейтральные по риску портфели (например, дельта-хеджирование).
• Расчёт подразумеваемой волатильности: решив уравнение Блэка — Шоулза относительно \(\sigma\) при известной рыночной цене опциона, получают подразумеваемую волатильность — ключевой показатель рыночных ожиданий.
• Управление рисками: банки и инвестиционные компании используют модель для оценки портфельных рисков и расчёта капитала под риском.

Ограничения и критика

• Невыполнение допущений: на реальных рынках присутствуют транзакционные издержки, налоги, ограничения на короткие продажи, а волатильность не является постоянной (наблюдается «улыбка волатильности» — зависимость подразумеваемой волатильности от страйка и срока).
• Краш 1987 года: во время обвала фондового рынка в 1987 году модель Блэка — Шоулза показала свою несостоятельность, так как не учитывала возможность экстремальных скачков цен («толстые хвосты» распределения).
• Американские опционы: модель не даёт точной оценки для американских опционов, которые можно исполнить досрочно. Для них используются численные методы (например, биномиальная модель).
• Опционы на активы с дивидендами: базовая модель не учитывает дивиденды, хотя существуют модификации (модель Мертона).

Модификации и расширения

Со временем были разработаны различные обобщения модели Блэка — Шоулза:

• Модель Блэка (1976): для оценки опционов на фьючерсы.
• Модель Мертона (1973): для оценки опционов на акции с непрерывными дивидендами.
• Модель с учётом скачков (Merton jump-diffusion model): включает возможность внезапных скачков цены.
• Модели стохастической волатильности (например, модель Хестона): волатильность сама является случайным процессом.
• Модели с учётом процентных ставок (модель Блэка — Дермана — Тоя).

Значение и влияние

Формула Блэка — Шоулза произвела революцию в финансах. Она предоставила практический инструмент для оценки опционов, что способствовало бурному росту рынка производных финансовых инструментов. Модель также заложила основы для развития количественных финансов (financial engineering) и риск-менеджмента. Несмотря на свои ограничения, она остаётся стандартом для начальной оценки опционов и отправной точкой для более сложных моделей. Нобелевская премия 1997 года была присуждена «за новый метод определения стоимости производных ценных бумаг», что подчёркивает фундаментальный вклад модели в экономическую науку.

Источники

• Black, F., & Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637–654.
• Merton, R. C. (1973). Theory of Rational Option Pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science, 4(1), 141–183.
• Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives (10th ed.). Pearson.
• Wilmott, P. (2006). Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance (2nd ed.). Wiley.
• Шоулз, М. (1997). Нобелевская лекция: «Derivatives in a Dynamic Environment».