Формула Черна — Саймонса

Формула Черна — Саймонса (также известная как теорема Гаусса — Бонне — Черна) — это фундаментальное утверждение в дифференциальной геометрии и топологии, устанавливающее связь между локальными геометрическими инвариантами (кривизной) риманова многообразия и его глобальной топологической характеристикой — эйлеровой характеристикой. Формула является обобщением классической теоремы Гаусса — Бонне для двумерных поверхностей на случай многообразий произвольной чётной размерности. Названа в честь китайско-американского математика Шиинг-Шена Черна и французского математика Жана-Мари Саймонса, которые независимо друг от друга разработали её в 1940-х и 1970-х годах соответственно.

История открытия

Классическая теорема Гаусса — Бонне

Предыстория формулы восходит к работам Карла Фридриха Гаусса (1827) и Пьера Оссиана Бонне (1848). Гаусс доказал, что полная кривизна (интеграл гауссовой кривизны) замкнутой поверхности равна \(2\pi \chi(M)\), где \(\chi(M)\) — эйлерова характеристика поверхности. Бонне обобщил результат на случай поверхностей с краем. Эта теорема стала одним из первых примеров связи локальной геометрии и глобальной топологии.

Работы Черна (1944)

В 1944 году Шиинг-Шен Черн опубликовал работу, в которой обобщил теорему Гаусса — Бонне на римановы многообразия произвольной чётной размерности. Он использовал методы теории характеристических классов (классов Черна) и доказал, что для замкнутого ориентированного риманова многообразия \(M\) размерности \(2n\) выполняется равенство: \[ \int_M \text{Pf}\left(\frac{\Omega}{2\pi}\right) = \chi(M), \] где \(\Omega\) — матрица кривизны, а \(\text{Pf}\) — пфаффиан, определяющий эйлеров класс. Это было первое строгое доказательство для многомерного случая.

Вклад Саймонса (1974)

Жан-Мари Саймонс, известный также как соавтор теории струн (модель Черна — Саймонса), в 1974 году предложил альтернативное доказательство и обобщение формулы, используя теорию характеристических классов и трансгрессию. Он показал, что эйлеров класс можно представить как внешнюю производную некоторой формы (формы Черна — Саймонса), что позволило связать её с граничными условиями и инвариантами узлов. Работы Саймонса привели к появлению теории Черна — Саймонса в калибровочных теориях поля.

Формулировка

Для компактных многообразий без края

Пусть \(M\) — компактное ориентированное риманово многообразие чётной размерности \(2n\). Тогда эйлерова характеристика \(\chi(M)\) выражается интегралом по \(M\) от пфаффиана кривизны: \[ \chi(M) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_M \text{Pf}(\Omega), \] где \(\Omega\) — 2-форма кривизны, ассоциированная с метрической связностью Леви-Чивиты. Пфаффиан — это полиномиальная функция от компонент кривизны, которая для \(n=1\) (поверхности) сводится к гауссовой кривизне.

Для многообразий с краем

Если многообразие \(M\) имеет край \(\partial M\), формула принимает вид: \[ \chi(M) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_M \text{Pf}(\Omega) + \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\partial M} \text{CS}(\omega), \] где \(\text{CS}(\omega)\) — форма Черна — Саймонса, построенная по форме связности \(\omega\). Это обобщение учитывает вклад геодезической кривизны края.

Ключевые понятия

Эйлерова характеристика

Эйлерова характеристика \(\chi(M)\) — топологический инвариант, вычисляемый как альтернированная сумма чисел Бетти: \(\chi(M) = \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i b_i\). Для замкнутой поверхности рода \(g\) она равна \(2-2g\). Формула Черна — Саймонса показывает, что этот чисто топологический объект может быть получен интегрированием локальной геометрической величины.

Пфаффиан кривизны

Пфаффиан — это квадратный корень из определителя кососимметричной матрицы. В контексте римановой геометрии он строится из тензора кривизны Римана. Для \(2n\)-мерного многообразия пфаффиан является \(2n\)-формой, интегрирование которой даёт целое число — эйлерову характеристику.

Форма Черна — Саймонса

Форма Черна — Саймонса — это \((2n-1)\)-форма, определённая на пространстве связностей. Она удовлетворяет соотношению: \[ d\,\text{CS}(\omega) = \text{Pf}(\Omega) - \text{Pf}(\Omega_0), \] где \(\Omega_0\) — кривизна некоторой эталонной связности. Эта форма играет ключевую роль в калибровочных теориях и топологической квантовой теории поля.

Применения

В математике

• Топология многообразий: формула позволяет вычислять эйлерову характеристику через интегралы от кривизны, что даёт эффективный метод классификации многообразий.
• Теория инвариантов: форма Черна — Саймонса используется для построения инвариантов узлов и 3-мерных многообразий (инварианты Черна — Саймонса).
• Геометрический анализ: формула служит основой для доказательства теорем о существовании метрик с заданной кривизной (например, теорема об униформизации).

В физике

• Калибровочные теории поля: действие Черна — Саймонса в 3-мерном пространстве-времени описывает топологическую фазу в квантовой теории поля. Оно используется в теории дробного квантового эффекта Холла и в моделях топологических квантовых компьютеров.
• Теория струн: формула Черна — Саймонса применяется при компактификации дополнительных измерений и в изучении D-бран.
• Гравитация: в контексте теории Эйнштейна — Черна — Саймонса модифицирует общую теорию относительности, добавляя топологический член, связанный с кручением.

Примеры

Двумерный случай (теорема Гаусса — Бонне)

Для замкнутой поверхности \(M\) рода \(g\): \[ \int_M K \, dA = 2\pi \chi(M) = 2\pi (2-2g), \] где \(K\) — гауссова кривизна. Это частный случай формулы Черна — Саймонса при \(n=1\).

Четырёхмерный случай

Для 4-мерного риманова многообразия \(M\): \[ \chi(M) = \frac{1}{32\pi^2} \int_M \left( |R|^2 - 4|\text{Ric}|^2 + R^2 \right) dV, \] где \(R\) — скалярная кривизна, \(\text{Ric}\) — тензор Риччи, \(|R|\) — норма тензора Римана. Эта формула используется в общей теории относительности для вычисления топологических инвариантов пространства-времени.

Критика и ограничения

Формула Черна — Саймонса применима только к ориентированным римановым многообразиям чётной размерности. Для нечётномерных многообразий аналогом служит эйлеров класс, который обращается в нуль, и вместо эйлеровой характеристики используются другие инварианты (например, сигнатура). Кроме того, формула предполагает существование гладкой метрики; для многообразий с особенностями (например, орбифолдов) требуются обобщения.

Интересные факты

• Шиинг-Шен Черн и Жан-Мари Саймонс независимо пришли к формуле, но их подходы различались: Черн использовал теорию классов, а Саймонс — трансгрессию.
• В 1978 году Саймонс совместно с Альбертом Шварцем применил формулу в квантовой теории поля, что привело к созданию топологической квантовой теории поля.
• Формула Черна — Саймонса является частным случаем более общей теоремы Атьи — Зингера об индексе, которая связывает аналитические и топологические инварианты эллиптических операторов.

Источники

• Chern, S. S. (1944). "A Simple Intrinsic Proof of the Gauss-Bonnet Formula for Closed Riemannian Manifolds". Annals of Mathematics.
• Simons, J. (1974). "Characteristic Forms and Transgression". Bulletin of the American Mathematical Society.
• Милнор Дж., Сташефф Дж. (1974). "Характеристические классы". Мир.
• Эггинтон П. (2019). "Дифференциальная геометрия и топология". Springer.