Тензор Риччи

Тензор Риччи — это математический объект в дифференциальной геометрии и общей теории относительности, представляющий собой симметричный тензор валентности (0,2), полученный свёрткой тензора кривизны Римана по двум индексам. Он описывает, как объём геодезического шара в искривлённом пространстве отклоняется от объёма шара в плоском пространстве, и является ключевым компонентом уравнений Эйнштейна, связывающих геометрию пространства-времени с распределением материи и энергии.

Определение и математическая формулировка

Тензор Риччи (обозначается \( R_{\mu\nu} \) или \( \text{Ric} \)) определяется как след тензора кривизны Римана \( R^\rho_{\ \mu\sigma\nu} \) по первому и последнему индексам:

\[ R_{\mu\nu} = R^\rho_{\ \mu\rho\nu} = \sum_{\rho=0}^{n-1} R^\rho_{\ \mu\rho\nu}, \]

где \( n \) — размерность многообразия. В римановой геометрии тензор Риччи симметричен: \( R_{\mu\nu} = R_{\nu\mu} \). В псевдоримановой геометрии, используемой в общей теории относительности, это свойство также сохраняется.

В координатной записи компоненты тензора Риччи выражаются через символы Кристоффеля \( \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \) и их частные производные:

\[ R_{\mu\nu} = \partial_\rho \Gamma^\rho_{\mu\nu} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\rho} + \Gamma^\rho_{\sigma\rho} \Gamma^\sigma_{\mu\nu} - \Gamma^\rho_{\sigma\nu} \Gamma^\sigma_{\mu\rho}. \]

Здесь \( \partial_\rho \) обозначает частную производную по координате \( x^\rho \), и используется правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся индексам.

Геометрическая интерпретация

Тензор Риччи имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим на римановом многообразии \( M \) малый геодезический шар радиуса \( \varepsilon \) с центром в точке \( p \). В плоском (евклидовом) пространстве объём такого шара равен \( V_{\text{евкл}} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)} \varepsilon^n \), где \( \Gamma \) — гамма-функция. В искривлённом пространстве объём шара \( V_{\text{геод}} \) отличается от евклидова на величину, пропорциональную следу тензора Риччи:

\[ \frac{V_{\text{геод}}}{V_{\text{евкл}}} = 1 - \frac{\varepsilon^2}{6(n+2)} \text{Ric}(v,v) + O(\varepsilon^4), \]

где \( v \) — единичный касательный вектор в точке \( p \), а \( \text{Ric}(v,v) = R_{\mu\nu} v^\mu v^\nu \) — значение тензора Риччи на этом векторе. Таким образом, тензор Риччи измеряет, насколько объём геодезического шара уменьшается или увеличивается по сравнению с плоским случаем в направлении вектора \( v \). Положительное значение \( \text{Ric}(v,v) \) означает, что объём шара в этом направлении меньше, чем в плоском пространстве (геодезические сходятся), а отрицательное — что объём больше (геодезические расходятся).

Свойства и связанные величины

Скалярная кривизна

Свёртка тензора Риччи с метрическим тензором \( g^{\mu\nu} \) даёт скалярную кривизну \( R \):

\[ R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}. \]

Скалярная кривизна — это инвариант, характеризующий среднюю кривизну многообразия в данной точке. В двумерном случае скалярная кривизна равна удвоенной гауссовой кривизне.

Тензор Эйнштейна

Тензор Эйнштейна \( G_{\mu\nu} \) определяется через тензор Риччи и скалярную кривизну:

\[ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R. \]

Этот тензор обладает свойством ковариантного сохранения: \( \nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0 \), что является следствием тождеств Бьянки для тензора Римана. Тензор Эйнштейна играет центральную роль в общей теории относительности.

Тождества Бьянки

Для тензора Риччи выполняются дифференциальные тождества Бьянки:

\[ \nabla^\mu R_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \nabla_\nu R, \]

где \( \nabla \) — ковариантная производная. Это соотношение эквивалентно сохранению тензора Эйнштейна.

Применение в общей теории относительности

В общей теории относительности (ОТО) тензор Риччи является частью уравнений Эйнштейна, которые описывают гравитацию как геометрическое свойство пространства-времени. Уравнения Эйнштейна имеют вид:

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, \]

где \( \Lambda \) — космологическая постоянная, \( G \) — гравитационная постоянная, \( c \) — скорость света, а \( T_{\mu\nu} \) — тензор энергии-импульса, описывающий распределение материи и энергии. Левая часть уравнений выражает кривизну пространства-времени, правая — его содержимое.

В вакууме, где \( T_{\mu\nu} = 0 \), уравнения Эйнштейна сводятся к условию \( R_{\mu\nu} = 0 \) (при \( \Lambda = 0 \)). Такие пространства-времени называются вакуумными решениями; к ним относятся, например, метрика Шварцшильда, описывающая гравитационное поле сферически-симметричной невращающейся массы, и метрика Керра для вращающейся чёрной дыры.

Примеры решений

1. Метрика Шварцшильда (1916 год, Карл Шварцшильд): описывает статическое сферически-симметричное гравитационное поле. Для неё \( R_{\mu\nu} = 0 \) вне источника, но тензор Римана не равен нулю, что означает наличие приливных сил.

1. Метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера (FLRW): используется в космологии для описания однородной и изотропной Вселенной. В этой метрике тензор Риччи не равен нулю, и его компоненты связаны с плотностью энергии и давлением материи через уравнения Фридмана.

1. Метрика де Ситтера: решение с положительной космологической постоянной, описывающее инфляционную фазу расширения Вселенной. Для неё \( R_{\mu\nu} = \Lambda g_{\mu\nu} \), а скалярная кривизна постоянна.

Применение в математике

В римановой геометрии тензор Риччи используется для изучения кривизны многообразий и их топологических свойств. Например, теорема Майерса утверждает, что если на полном римановом многообразии тензор Риччи ограничен снизу положительной константой, то многообразие компактно и его фундаментальная группа конечна. Теорема Бишопа — Громова связывает объём геодезических шаров с нижней границей тензора Риччи.

Тензор Риччи также применяется в теории потока Риччи — геометрического потока, введённого Ричардом Гамильтоном в 1982 году. Поток Риччи эволюционирует метрику многообразия в направлении, обратном тензору Риччи:

\[ \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial t} = -2 R_{\mu\nu}. \]

Этот поток используется для классификации трёхмерных многообразий и был ключевым инструментом в доказательстве гипотезы Пуанкаре Григорием Перельманом (2002–2003 годы).

История

Тензор назван в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро (1853–1925), который ввёл его в 1880-х годах в рамках развития тензорного исчисления. Риччи и его ученик Туллио Леви-Чивита систематизировали методы абсолютного дифференциального исчисления, которые впоследствии стали математическим аппаратом общей теории относительности. Альберт Эйнштейн использовал тензор Риччи при формулировке уравнений гравитационного поля в 1915 году, хотя первоначально он рассматривал более общую форму с тензором Римана.

Критика и ограничения

В контексте общей теории относительности тензор Риччи не описывает полную кривизну пространства-времени; он не содержит информации о некоторых компонентах кривизны, которые соответствуют гравитационным волнам. Полная кривизна описывается тензором Римана, а тензор Риччи является его следом. Кроме того, в размерностях выше четырёх тензор Риччи не определяет тензор Римана однозначно — для этого требуется ещё тензор Вейля, который описывает бесследовую часть кривизны.

Источники

1. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977. — Т. 1–3.
2. Петерсен П. Риманова геометрия. — М.: МЦНМО, 2012.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. — М.: Наука, 1988.
4. Hamilton R. S. Three-manifolds with positive Ricci curvature // Journal of Differential Geometry. — 1982. — Vol. 17, no. 2. — P. 255–306.
5. Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications // arXiv:math/0211159. — 2002.