Скалярная кривизна

Скалярная кривизна — это числовая характеристика риманова многообразия, равная следу тензора Риччи. Она является одним из простейших инвариантов кривизны и в каждой точке многообразия представляет собой сумму всех секционных кривизн по всем направлениям, усреднённую определённым образом. Скалярная кривизна не даёт полной информации об искривлении пространства, но играет ключевую роль в общей теории относительности, где выступает источником гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна.

Определение и формальное выражение

Пусть \((M, g)\) — риманово или псевдориманово многообразие размерности \(n\) с метрическим тензором \(g\). Тензор кривизны Римана \(R\) порождает тензор Риччи \(\operatorname{Ric}\), который является его следом по первому и последнему индексам:

\[ \operatorname{Ric}_{ij} = R^{k}_{ikj}. \]

Скалярная кривизна \(S\) (или \(\operatorname{scal}\)) определяется как полный след тензора Риччи по метрике:

\[ S = g^{ij} \operatorname{Ric}_{ij}. \]

В локальных координатах это выражение можно записать через компоненты тензора Римана:

\[ S = g^{ij} R^{k}_{ikj}. \]

Для двумерной поверхности скалярная кривизна равна удвоенной гауссовой кривизне: \(S = 2K\). В трёхмерном пространстве скалярная кривизна связана с тензором Риччи и метрикой более сложным образом, но всё ещё является важной характеристикой.

Геометрический смысл

Скалярная кривизна описывает, насколько объём малой сферы (или шара) в данном многообразии отличается от объёма такой же сферы в евклидовом пространстве той же размерности. Для точки \(p \in M\) объём геодезического шара радиуса \(r\) имеет асимптотическое разложение:

\[ \operatorname{Vol}(B_r(p)) = \omega_n r^n \left(1 - \frac{S(p)}{6(n+2)} r^2 + O(r^4)\right), \]

где \(\omega_n\) — объём единичного шара в евклидовом пространстве \(\mathbb{R}^n\). Таким образом, положительная скалярная кривизна означает, что объём малых шаров меньше евклидова, а отрицательная — больше.

На двумерных поверхностях скалярная кривизна совпадает с гауссовой кривизной, которая определяет локальную форму поверхности: эллиптическую (сфера), гиперболическую (седло) или параболическую (плоскость). В многомерном случае интерпретация сложнее, но скалярная кривизна остаётся усреднённой мерой искривления.

Скалярная кривизна в общей теории относительности

В общей теории относительности (ОТО) скалярная кривизна входит в левую часть уравнений Эйнштейна:

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, \]

где \(R\) — скалярная кривизна, \(\Lambda\) — космологическая постоянная, \(T_{\mu\nu}\) — тензор энергии-импульса. Скалярная кривизна здесь определяет след тензора Риччи и связана с плотностью материи через след тензора энергии-импульса:

\[ R = -\frac{8\pi G}{c^4} T^{\mu}_{\mu} + 4\Lambda. \]

В вакууме (при \(T_{\mu\nu}=0\) и \(\Lambda=0\)) скалярная кривизна обращается в ноль, что соответствует решениям типа метрики Шварцшильда. Внутри массивных тел скалярная кривизна пропорциональна плотности массы-энергии.

В космологических моделях (например, метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера) скалярная кривизна связана с кривизной пространства и параметром Хаббла. Для однородной изотропной Вселенной:

\[ R = 6\left(\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2}\right), \]

где \(a(t)\) — масштабный фактор, \(k\) — параметр кривизны (\(k=0\) для плоской Вселенной, \(k=+1\) для замкнутой, \(k=-1\) для открытой).

Скалярная кривизна в математике

Теорема о положительной скалярной кривизне

Одной из важных теорем римановой геометрии является утверждение, что на компактном многообразии размерности \(n \geq 3\) с неотрицательной скалярной кривизной и нетривиальной фундаментальной группой существуют топологические ограничения. В частности, для трёхмерных многообразий положительная скалярная кривизна накладывает ограничения на фундаментальную группу (теорема Громова — Лоусона).

Скалярная кривизна и топология

Скалярная кривизна связана с топологией многообразия через индексы и характеристические классы. Например, для компактного четырёхмерного многообразия с положительной скалярной кривизной сигнатура и число Эйлера удовлетворяют определённым неравенствам (теорема Хичкока — Лихнеровича). В двумерном случае гауссова кривизна связана с эйлеровой характеристикой через теорему Гаусса — Бонне.

Скалярная кривизна в теории относительности и математической физике

В теории гравитации скалярная кривизна используется для построения различных модификаций ОТО, например, \(f(R)\)-гравитации, где действие зависит от произвольной функции скалярной кривизны. Такие теории позволяют объяснить ускоренное расширение Вселенной без введения тёмной энергии.

В дифференциальной геометрии скалярная кривизна является одним из ключевых инвариантов при изучении многообразий с заданными кривизнёнными условиями. Существуют гипотезы, связывающие скалярную кривизну с существованием метрик с положительной кривизной на заданном многообразии.

Примеры скалярной кривизны

• Евклидово пространство \(\mathbb{R}^n\): скалярная кривизна равна нулю.
• Сфера \(S^n\) радиуса \(r\): скалярная кривизна постоянна и равна \(n(n-1)/r^2\).
• Гиперболическое пространство \(\mathbb{H}^n\): скалярная кривизна постоянна и отрицательна, равна \(-n(n-1)\).
• Пространство-время Шварцшильда: скалярная кривизна равна нулю всюду, кроме сингулярности.
• Метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера: скалярная кривизна зависит от времени и параметра кривизны.

Интересные факты

• Скалярная кривизна является одним из немногих инвариантов, которые можно вычислить непосредственно из метрики без привлечения дополнительных структур.
• В двумерном случае скалярная кривизна определяет гауссову кривизну, которая, в свою очередь, полностью описывает локальную геометрию поверхности.
• В теории струн и супергравитации скалярная кривизна входит в эффективные действия, описывающие низкоэнергетические пределы.
• Существуют многообразия с нулевой скалярной кривизной, но ненулевым тензором Риччи (например, пространство-время с электромагнитным полем).

Источники

• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.
• Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. — М.: МЦНМО, 2012.
• Petersen P. Riemannian Geometry. — Springer, 2006.
• Besse A. Einstein Manifolds. — Springer, 1987.