Формула Мизеса

Формула Мизеса (также критерий Мизеса, критерий энергии формоизменения, критерий фон Мизеса) — это условие перехода материала из упругого состояния в пластическое (текучесть), используемое в механике сплошных сред и сопротивлении материалов. Согласно этому критерию, пластическое течение начинается, когда интенсивность касательных напряжений (или, эквивалентно, удельная потенциальная энергия формоизменения) достигает критического значения, характерного для данного материала. Формула Мизеса является одним из наиболее распространённых критериев текучести для изотропных материалов, особенно металлов, и широко применяется в инженерных расчётах, методе конечных элементов и теории пластичности.

История

Критерий был независимо предложен несколькими учёными в начале XX века. Первым математическую формулировку условия текучести через октаэдрические касательные напряжения опубликовал в 1904 году польский инженер Максимилиан Губер (Maximilian Tytus Huber). Однако его работа была написана на польском языке и осталась малоизвестной за пределами Польши.

В 1913 году немецкий механик Рихард фон Мизес (Richard von Mises) предложил аналогичный критерий, исходя из энергетических соображений — он показал, что пластическое течение начинается, когда энергия формоизменения достигает определённого предела. Работа Мизеса получила широкое распространение, и критерий стал известен как «критерий Мизеса» или «критерий Губера — Мизеса».

Позднее, в 1924 году, немецкий учёный Генрих Генки (Heinrich Hencky) дал физическую интерпретацию критерия через октаэдрические напряжения, что укрепило его теоретическую базу. В англоязычной литературе критерий часто называют «критерием Губера — Мизеса — Генки» (Huber–Mises–Hencky criterion).

Математическая формулировка

В общей трёхмерной постановке критерий Мизеса записывается через компоненты тензора напряжений. Пластическое течение наступает, когда эквивалентное напряжение (напряжение Мизеса) \(\sigma_{\text{VM}}\) достигает предела текучести материала \(\sigma_y\) при одноосном растяжении:

\[ \sigma_{\text{VM}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left[ (\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + (\sigma_{33} - \sigma_{11})^2 + 6(\sigma_{12}^2 + \sigma_{23}^2 + \sigma_{31}^2) \right] } \le \sigma_y \]

где \(\sigma_{ij}\) — компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат.

В терминах главных напряжений \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) формула упрощается:

\[ \sigma_{\text{VM}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right] } \le \sigma_y \]

Энергетическая интерпретация

Критерий Мизеса эквивалентен утверждению, что пластическое течение начинается, когда удельная потенциальная энергия формоизменения (девиаторная часть упругой энергии) достигает критического значения \(W_d^{\text{крит}}\):

\[ W_d = \frac{1+\nu}{6E} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right] \le W_d^{\text{крит}} \]

где \(E\) — модуль упругости, \(\nu\) — коэффициент Пуассона. Критическое значение \(W_d^{\text{крит}}\) определяется из одноосного испытания на растяжение: \(W_d^{\text{крит}} = \frac{1+\nu}{3E} \sigma_y^2\).

Физический смысл

Формула Мизеса основана на гипотезе, что пластическое течение не зависит от гидростатического давления (первого инварианта тензора напряжений), а определяется только девиатором напряжений — частью тензора, отвечающей за изменение формы, а не объёма. Это хорошо подтверждается экспериментами для большинства металлов при обычных температурах и давлениях.

Критерий Мизеса предсказывает, что текучесть наступает, когда интенсивность касательных напряжений (октаэдрическое касательное напряжение) достигает значения \(\tau_{\text{окт}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_y\). В пространстве главных напряжений поверхность текучести по Мизесу представляет собой круговой цилиндр, ось которого равнонаклонена к осям координат (ось гидростатического сжатия).

Сравнение с другими критериями

Критерий Треска (максимальных касательных напряжений)

Критерий Треска, предложенный Анри Треска в 1864 году, утверждает, что текучесть наступает, когда максимальное касательное напряжение достигает половины предела текучести при растяжении: \(\tau_{\max} \le \frac{\sigma_y}{2}\). В пространстве главных напряжений поверхность Треска — правильная шестигранная призма, вписанная в цилиндр Мизеса.

Основные различия:

• Критерий Мизеса учитывает все три главные напряжения, критерий Треска — только разность максимального и минимального.
• Для чистого сдвига критерий Мизеса даёт предел текучести \(\tau_y = \frac{\sigma_y}{\sqrt{3}} \approx 0.577\sigma_y\), а критерий Треска — \(\tau_y = \frac{\sigma_y}{2} = 0.5\sigma_y\). Эксперименты для металлов обычно дают значения, близкие к предсказанию Мизеса.
• Критерий Мизеса даёт гладкую (дифференцируемую) поверхность, что удобно для численных расчётов. Критерий Треска имеет рёбра и углы, что создаёт вычислительные трудности.

Критерий Мора — Кулона

Для хрупких материалов, горных пород и грунтов, у которых предел текучести зависит от гидростатического давления, применяется критерий Мора — Кулона. Формула Мизеса для таких материалов неприменима, так как она не учитывает влияние среднего напряжения.

Применение

Инженерные расчёты

Формула Мизеса является стандартным критерием текучести в большинстве программных комплексов метода конечных элементов (ANSYS, Abaqus, COMSOL, SolidWorks Simulation, ЛИРА-САПР и других). При постобработке результатов расчёта выводится поле напряжений Мизеса, которое сравнивается с пределом текучести материала.

Прочностной анализ

В машиностроении, авиастроении, строительстве и других отраслях напряжения Мизеса используются для оценки прочности деталей при сложном напряжённом состоянии. Например, при расчёте сосудов давления, валов, зубчатых колёс, элементов конструкций из металлов и полимеров.

Теория пластичности

В теории пластического течения критерий Мизеса служит основой для построения определяющих соотношений (ассоциированный закон течения, модель Прандтля — Рейсса). Связанное с ним условие пластичности используется в задачах обработки металлов давлением (прокатка, штамповка, волочение).

Экспериментальная проверка

Для проверки применимости критерия Мизеса проводят испытания на сложное напряжённое состояние (например, нагружение тонкостенных труб внутренним давлением и осевой силой). Эксперименты показывают хорошее согласие с критерием Мизеса для большинства пластичных металлов (сталь, алюминий, медь, титан) при комнатной температуре.

Ограничения

• Не учитывает влияние гидростатического давления — неприменим для материалов, чувствительных к всестороннему сжатию (полимеры, бетон, грунты, керамика).
• Не описывает анизотропию — для материалов с разными пределами текучести по направлениям (прокатные листы, композиты) требуются анизотропные критерии (Хилла, Цая — Ву).
• Не учитывает эффект Баушингера — различие пределов текучести при растяжении и сжатии после предварительного пластического деформирования.
• Не описывает разрушение — критерий Мизеса определяет только начало пластического течения, а не потерю несущей способности (разрушение описывается другими критериями, например, критерием максимальных растягивающих напряжений).

Интересные факты

• В пространстве главных напряжений цилиндр Мизеса имеет радиус \(R = \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y\). Его ось — линия гидростатического нагружения \(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3\).
• Для случая плоского напряжённого состояния (\(\sigma_3 = 0\)) поверхность текучести Мизеса в координатах \(\sigma_1, \sigma_2\) представляет собой эллипс: \(\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2 = \sigma_y^2\).
• Напряжение Мизеса часто называют «эквивалентным напряжением» (equivalent stress) или «интенсивностью напряжений».
• В российской инженерной школе критерий Мизеса также известен как «критерий энергии формоизменения» и входит в состав нормативных документов по расчёту на прочность (например, СНиП, ГОСТ Р 52857).

Источники

• Timoshenko S. P. History of Strength of Materials. — McGraw-Hill, 1953.
• Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М.: Машиностроение, 1975.
• Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: ГИТТЛ, 1956.
• Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969.
• ANSYS Mechanical User's Guide. — ANSYS Inc., 2020.