Фракталы — геометрические объекты самоподобия¶

Фрактал (от лат. fractus — «разбитый, сломанный») — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия: любой её фрагмент, увеличенный в нужное число раз, повторяет форму целого объекта или его части. Фракталы характеризуются фрактальной размерностью — числом, которое, как правило, не является целым и превышает топологическую размерность объекта. Понятие ввёл в 1975 году польско-американский математик Бенуа Мандельброт в статье о длине побережья Великобритании.

¶История

¶Предпосылки

Математические объекты, ныне относимые к фракталам, изучались задолго до появления самого термина. В 1872 году Карл Вейерштрасс предложил функцию, непрерывную в каждой точке и нигде не дифференцируемую. В 1883 году Георг Кантор построил «множество Кантора» — бесконечный набор отрезков, получаемый последовательным удалением средней трети. В 1904 году Хельге фон Кох описал кривую с бесконечной длиной при конечной площади. В 1915 году Вацлав Сирпинский создал «треугольник Сирпинского». Эти объекты считались математическими курьёзами и не имели единого описания.

¶Работы Мандельброта

В 1958 году Бенуа Мандельброт поступил в исследовательскую лабораторию IBM, где занимался анализом сигналов и шума. Он обнаружил, что шумовые явления, казавшиеся случайными, обнаруживают структуру при разных масштабах наблюдения. В 1967 году опубликовал статью «Длина побережья Великобритании: статистическая самоподобность и фрактальная размерность», показавшую, что длина береговой линии не определена однозначно и зависит от масштаба карты.

В 1975 году Мандельброт ввёл термин «фрактал» (лат. fractus — сломанный, неровный) и обобщил понятие в книге «Фрактальная геометрия природы» (1982). Он предложил определение фрактала как объекта, фрактальная размерность которого строго превышает его топологическую размерность.

¶Свойства

¶Самоподобие

Центральное свойство фракталов — самоподобие. У «строгих» (детерминированных) фракталов части объекта геометрически подобны целому. У «статистических» фракталов самоподобие проявляется не точно, а в вероятностном смысле — например, в форме береговых линий, контурах гор или структуре кровеносных сосудов.

¶Фрактальная размерность

Фрактальная размерность измеряет «заполненность» пространства фигурой. Для точки она равна 0, для линии — 1, для плоской фигуры — 2. Фракталы имеют дробные значения: у кривой Коха размерность равна ln4/ln3 ≈ 1,2619, у треугольника Сирпинского — ln3/ln2 ≈ 1,585. Размерность Хаусдорфа-Безиковича позволяет измерять объекты произвольной сложности.

¶Рекурсия

Большинство фракталов строятся рекурсивно: базовая фигура преобразуется по определённому правилу, и то же правило применяется к результату. Число итераций не ограничено, поэтому математический фрактал содержит бесконечно мелкие детали.

¶Классификация

¶Детерминированные фракталы

• Множество Кантора — отрезок, из которого бесконечно удаляется средняя треть.
• Кривая Коха — ломаная с бесконечной длиной, получаемая заменой каждого отрезка на четыре меньших.
• Треугольник Сирпинского — треугольник, разделённый на четыре, из которого удалён центральный.
• Губка Менгера — трёхмерный аналог, получаемый удалением центральных частей куба.
• Снежинка Коха — замкнутая кривая, построенная по правилу кривой Коха на сторонах равностороннего треугольника.

¶Фрактальные множества

• Множество Мандельброта — множество точек комплексной плоскости, для которых неограниченной не становится последовательность zₙ₊₁ = zₙ² + c. Граница множества имеет фрактальную структуру.
• Множества Жюлиа — семейство множеств, связанных с формулой Мандельброта; каждое множество Жюлиа соответствует одному значению параметра c.

¶Стохастические фракталы

Построенные с использованием случайности: фрактальные ландшафты, броуновское движение (его траектория имеет фрактальную размерность 2), модели роста агрегатов.

¶Применение

¶В математике и информатике

Фрактальная геометрия применяется для сжатия изображений (алгоритмы фрактального сжатия), генерации процедурной графики в кино и играх (ландшафты, облака, огнь). Алгоритмы фрактальной интерполяции используются для восстановления сигналов.

¶В естественных науках

Фрактальные модели описывают структуру кровеносной системы, лёгочных альвеол, распределение галактик, контуры рек и горных хребтов, структуру пород. Фрактальная размерность применяется в анализе ЭКГ и МРТ для выявления патологий.

¶В технике и экономике

Фрактальные антенны — компактные антенны фрактальной формы, используемые в мобильных устройствах; они работают на нескольких частотах при малых размерах. Фрактальный анализ применяется к фондовым рядам: Мандельброт показал, что колебания цен обнаруживают самоподобие в разных временных масштабах.

¶Интересные факты

Множество Мандельброта иногда называют «самой сложной математической объектом, когда-либо наблюдавшимся». Его граница содержит бесконечное число копий самого множества, а также копии всех множеств Жюлиа. В 2001 году в журнале Science было отмечено, что структура множества Мандельброта не имеет аналогов в классической математике.

¶Источники

• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2002.
• Федоров В.В. Фракталы и фрактальная размерность. — М.: ЛКИ, 2010.
• Пейдж Дж. Фрактальная геометрия. — М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2011.
• Falconer К. Фрактальная геометрия: введение и приложения. — М.: Мир, 1991.