Фракталы — самоподобие и дробная размерность¶

Фрактал (от лат. fractus — «разбитый, изломанный») — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия: её части на разных масштабах выглядят похоже на целое. Фракталы отличаются от привычных фигур (круг, квадрат, шар) тем, что их границы бесконечно изрезаны, а детализация не исчерпывается при приближении — всегда можно увеличить фрагмент и увидеть структуру, подобную исходной. Математический аппарат фракталов был разработан в XX веке и применяется в физике, биологии, компьютерной графике, анализе рынков и других областях.

¶Происхождение термина

Термин «фрактал» ввёл польско-французский математик Бенуа Мандельброт в 1975 году. В статье 1975 года он предложил слово от латинского fractus — «сломанный, изрезанный», по аналогии с fraction («дробь»), указывая на дробный характер размерности фигур. Книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» (1982) изложила идеи широкой аудитории и закрепила понятие в научном обиходе.

Идея самоподобия возникла раньше. В 1872 году Карл Вейерштрасс построил функцию, непрерывную всюду и дифференцируемую нигде — её график при увеличении порождал всё более изрезанную кривую. В 1904 году шведский математик Хельге фон Кох описал кривую Коха — замкнутую линию бесконечной длины, ограниченную конечной площадью. В 1915 году польский математик Вацлав Сierпиньский предложил треугольник Сierпиньского — фигуру, получаемую бесконечным удалением средних треугольников. Эти объекты тогда рассматривались как математические курьёзы; Мандельброт показал, что они описывают реальные структуры.

¶Основные свойства

¶Самоподобие

Центральное свойство фрактала — самоподобие: увеличенный фрагмент фигуры подобен целой фигуре. Самоподобие бывает точным (математические фракталы) и статистическим (природные объекты: береговые линии, облака, сосуды). В природе точного самоподобия не бывает — речь идёт о приблизительном, масштабно-инвариантном сходстве.

¶Фрактальная размерность

Обычные объекты имеют целочисленную топологическую размерность: точка — 0, линия — 1, поверхность — 2, объём — 3. У фракталов размерность дробная. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 ≈ 1,26 — она «толще» линии, но «тоньше» поверхности. Треугольник Сierпиньского имеет размерность ln3/ln2 ≈ 1,58. Понятие фрактальной размерности формализовано через размерность Минковского (коробочную), размерность Хаусдорфа и другие конструкции.

¶Бесконечная детализация

Математический фрактал строится итерационно — повторением одного и того же правила бесконечное число раз. При любой степени увеличения появляются новые детали. Именно поэтому длина береговой линии, измеренная с точностью до метра, оказывается больше, чем измеренная с точностью до километра.

¶Классификация

Фракталы делятся на три основных класса:

Множество Мандельброта строится на плоскости комплексных чисел: для каждой точки проверяется, остаётся ли последовательность zn+1 = zn² + c ограниченной при z0 = 0. Точки, для которых последовательность не расходится, образуют множество Мандельброта — характерную «голову с усами». На границе множества при любом увеличении возникают миниатюрные копии самого множества.

¶Фракталы в природе

Мандельброт в 1967 году опубликовал статью «Длина береговой линии Великобритании: статистическая самоподобия и дробные размерности», показав, что измеряемая длина берега зависит от масштаба измерения и формально стремится к бесконечности при уменьшении масштаба.

Фрактальными свойствами обладают:

• Деревья и корневые системы — ветвление повторяется на разных уровнях;
• Сосудистая система — артерии, вены и капилляры образуют самоподобную сеть;
• Листья папоротника — каждый листочек напоминает лист целиком;
• Горные хребты, русла рек, грозовые разряды;
• Облака и снежинки — контуры облаков статистически самоподобны;
• Галактики — распределение материи в масштабах скоплений галактик напоминает нейронные сети.

¶Применение

¶Компьютерная графика

Фрактальные алгоритмы используются для генерации ландшафтов, облаков, огня, растительности в играх и фильмах. Процедурная генерация на основе фракталов позволяет описывать сложные сцены короткими формулами.

¶Техника и связь

Фрактальные антенны — антенны с фрактальной формой излучателя, обладающие широкополосностью при малых размерах. Применяются в мобильных телефонах, RFID-метках, радиочастотной идентификации.

¶Медицина и биология

Фрактальная размерность применяется для анализа ЭКГ, структуры кости (при остеопорозе размерность снижается), ретинальных сосудов, структуры опухолей.

¶Финансы и сейсмология

Мандельброт исследовал фрактальные свойства финансовых рядов, предложив модели с «тяжёлыми хвостами» распределений. Фрактальный анализ используется при изучении сейсмической активности и распределения очагов землетрясений.

¶Интересные факты

• Фрактал — бесконечная фигура, но её площадь может быть конечной. Треугольник Сierпиньского занимает нулевую площадь, а кривая Коха ограничивает конечную площадь при бесконечной длине периметра.
• Множество Мандельброта иногда называют «самой сложной математической объектой», открытой человеком — при этом оно описывается одной формулой z² + c.
• Термин «фрактал» отсутствовал в математических словарях до 1975 года; сам Мандельброт отмечал, что изобрёл его, чтобы заполнить лакуну в языке, а не потому что обнаружил новую сущность.

¶Источники

• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2002.
• Федоров В.В. Фрактальная геометрия в математическом анализе. — М.: Лаборатория знаний, 2019.
• Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. — Wiley, 2014.
• Мандельброт Б. Длина береговой линии Великобритании: статистическая самоподобия и дробные размерности // Природа. 1967.