Функция CES¶

Функция CES (от англ. Constant Elasticity of Substitution — функция с постоянной эластичностью замещения) — это класс производственных функций и функций полезности (предпочтений), в котором эластичность замещения между факторами производства (или между товарами в потреблении) является постоянной величиной, не зависящей от объёмов используемых ресурсов. Функция CES была введена в экономический анализ в 1961 году американскими экономистами Кеннетом Эрроу, Холлисом Ченери, Бхагвати Сингхом и Робертом Солоу. Она обобщает несколько классических функциональных форм, включая функцию Кобба — Дугласа, функцию с фиксированными пропорциями (Леонтьева) и линейную функцию, и широко применяется в макроэкономическом моделировании, теории международной торговли, экономике труда и прикладном анализе спроса.

¶Определение и общий вид

Функция CES для двух факторов производства (капитала \( K \) и труда \( L \)) в своей стандартной форме записывается как:

\[ Q = F(K, L) = A \left[ \alpha K^{-\rho} + (1 - \alpha) L^{-\rho} \right]^{-\frac{\nu}{\rho}} \]

где:

• \( Q \) — выпуск продукции (или уровень полезности для функции полезности);
• \( A \) — параметр эффективности (нейтральный технологический прогресс), \( A > 0 \);
• \( \alpha \) — параметр распределения (долевой коэффициент), \( 0 < \alpha < 1 \);
• \( \rho \) — параметр замещения, \( \rho \ge -1 \);
• \( \nu \) — параметр отдачи от масштаба (степень однородности), часто в базовой форме полагается \( \nu = 1 \) (постоянная отдача от масштаба).

Эластичность замещения \( \sigma \) в этой функции определяется как:

\[ \sigma = \frac{1}{1 + \rho} \]

Поскольку \( \rho \) может изменяться от -1 до бесконечности, \( \sigma \) принимает значения от бесконечности (при \( \rho \to -1 \)) до 0 (при \( \rho \to \infty \)). В частных случаях:

• При \( \rho \to 0 \) функция CES стремится к функции Кобба — Дугласа, и \( \sigma = 1 \);
• При \( \rho \to \infty \) функция CES стремится к функции Леонтьева (фиксированные пропорции), и \( \sigma = 0 \);
• При \( \rho = -1 \) функция CES становится линейной (совершенные заменители), и \( \sigma = \infty \).

¶Свойства и характеристики

¶Постоянная эластичность замещения

Основное свойство, давшее название функции, — константность \( \sigma \) для всех точек на изокванте (или кривой безразличия). В отличие от более гибких функциональных форм, таких как трансцендентальная логарифмическая функция (Translog), где эластичность замещения может варьироваться в зависимости от соотношения факторов, CES предполагает, что технология замещения одного фактора другим остаётся неизменной во всех режимах производства. Это свойство упрощает эконометрическую оценку и делает CES удобной для теоретического анализа.

¶Предельная производительность и доли факторов

Для функции CES с постоянной отдачей от масштаба (\( \nu = 1 \)) предельные продукты капитала и труда равны:

\[ \frac{\partial Q}{\partial K} = \alpha A^\rho \left( \frac{Q}{K} \right)^{1+\rho}, \quad \frac{\partial Q}{\partial L} = (1 - \alpha) A^\rho \left( \frac{Q}{L} \right)^{1+\rho} \]

Доля дохода на капитал в выпуске (при совершенной конкуренции) задаётся выражением:

\[ s_K = \frac{\alpha K^{-\rho}}{\alpha K^{-\rho} + (1 - \alpha) L^{-\rho}} \]

В отличие от функции Кобба — Дугласа, где доли факторов постоянны, в CES доли изменяются при изменении соотношения факторов, если \( \sigma \neq 1 \). Это свойство позволяет моделировать долгосрочные тренды в распределении национального дохода.

¶Замещаемость и комплементарность

Параметр \( \rho \) определяет характер замещения:

• \( \rho > 0 \) (соответствует \( \sigma < 1 \)) — факторы являются взаимодополняющими (замещение затруднено). Увеличение одного фактора требует относительно большего увеличения другого для поддержания выпуска.
• \( \rho < 0 \) (соответствует \( \sigma > 1 \)) — факторы являются хорошими заменителями. Например, ручной труд легко заменяется автоматизированным оборудованием.
• \( \rho = 0 \) — нейтральный случай Кобба — Дугласа.

¶Многофакторная и иерархическая CES

В приложениях часто используется обобщение CES на произвольное число факторов. Например, многофакторная CES с \( n \) ресурсами имеет вид:

\[ Q = A \left[ \sum_{i=1}^n \alpha_i x_i^{-\rho} \right]^{-\frac{\nu}{\rho}} \]

где \( \sum \alpha_i = 1 \). Такая форма применяется в моделировании агрегированного производства с несколькими видами капитала (например, физический и человеческий капитал) или с различными группами труда.

Иерархическая (вложенная) CES-функция, или «nested CES», представляет собой композицию нескольких CES-функций, где на разных уровнях агрегируются разные группы факторов. Например, в моделировании производства часто сначала агрегируются различные типы труда (высоко- и низкоквалифицированный) через одну CES, затем этот агрегат комбинируется с капиталом через другую CES. Это позволяет различать эластичность замещения между подгруппами и общую эластичность.

¶Применение в экономике

¶Макроэкономика и экономический рост

В моделях экономического роста, таких как модель Солоу или модель Рамсея — Касса — Купманса, функция CES часто используется вместо функции Кобба — Дугласа для анализа влияния технологических изменений на распределение доходов и долгосрочную динамику выпуска. Параметр \( \sigma \) является ключевым: при \( \sigma > 1 \) технический прогресс может увеличивать долю капитала, а при \( \sigma < 1 \) — уменьшать, что влияет на траекторию неравенства.

¶Экономика труда и спрос на квалификацию

В исследованиях рынка труда CES применяется для моделирования замещения между работниками разной квалификации. Типичная постановка: выпуск \( Y = A \left[ \alpha H^\theta + (1 - \alpha) L^\theta \right]^{1/\theta} \), где \( H \) — высококвалифицированный труд, \( L \) — низкоквалифицированный, а \( \sigma = 1/(1-\theta) \). Оценки эластичности замещения между квалификациями часто требуют различения краткосрочной и долгосрочной подстройки.

¶Международная торговля

В моделях дифференцированного продукта (например, модель Диксита — Стиглица) функция CES используется для представления предпочтений потребителей на множестве разновидностей товаров. Здесь постоянная эластичность замещения между разновидностями определяет рыночную власть фирм и эффекты от расширения ассортимента.

¶Отраслевой и прикладной анализ

CES применяется для оценки производственных функций отраслей, особенно в энергетике и сельском хозяйстве, где важно различать замещаемость ресурсов (например, труда и энергии, земли и удобрений). В эконометрике параметры CES часто оцениваются методами нелинейного МНК или с помощью логарифмической линеаризации, хотя существуют и более точные подходы, такие как метод Kmenta.

¶Критика и ограничения

Основное ограничение CES — её жёсткая предпосылка о постоянстве эластичности замещения. Эмпирические исследования показывают, что в реальной экономике \( \sigma \) может меняться в зависимости от уровня развития технологии, этапа экономического цикла или институциональной среды. Альтернативы, такие как функция Translog, позволяют моделировать переменную эластичность, но требуют большего числа параметров и могут приводить к проблемам мультиколлинеарности при оценке.

Другое ограничение — трудность интерпретации параметра \( \rho \) при \( \nu \neq 1 \). В модели с возрастающей отдачей от масштаба эластичность замещения перестаёт быть строго постоянной в любой шкале выпуска, хотя формально остаётся константой на изокванте.

¶Литература

• Arrow, K. J., Chenery, H. B., Minhas, B. S., & Solow, R. M. (1961). Capital-labor substitution and economic efficiency. The Review of Economics and Statistics, 43(3), 225–250.
• Klump, R., McAdam, P., & Willman, A. (2007). Factor substitution and factor-augmenting technical progress in the United States: A normalized supply-side system approach. Review of Economics and Statistics, 89(1), 183–192.
• Sato, R. (1967). A two-level constant-elasticity-of-substitution production function. The Review of Economic Studies, 34(2), 201–218.
• Kmenta, J. (1967). On estimation of the CES production function. International Economic Review, 8(2), 180–189.
• Chirinko, R. S. (2008). σ: The long and short of it. Journal of Macroeconomics, 30(2), 671–686.