Геометрическое распределение в теории вероятностей¶

Геометрическое распределение — это распределение вероятностей дискретной случайной величины, моделирующее число испытаний Бернулли, необходимых для получения первого успеха. Оно относится к классу дискретных распределений и широко применяется в теории вероятностей, математической статистике, теории массового обслуживания и прикладных задачах, связанных с повторением независимых опытов до наступления заданного исхода.

¶Определение

Рассматривается последовательность независимых испытаний с двумя исходами: «успех» с вероятностью p (0 < p ≤ 1) и «неудача» с вероятностью q = 1 − p. Испытания проводятся до первого успеха. Случайная величина X, равная числу испытаний до первого успеха включительно, имеет геометрическое распределение с параметром p.

Функция вероятности для числа испытаний до первого успеха (включая успешное):

P(X = k) = q^(k−1) · p, где k = 1, 2, 3, …

Существует и вторая форма записи, при которой случайная величина Y обозначает число неудач до первого успеха:

P(Y = k) = q^k · p, где k = 0, 1, 2, …

Обе формы эквивалентны с точностью до сдвига на единицу и используются в зависимости от контекста. Название «геометрическое» связано с тем, что вероятности P(X = k) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q.

¶Свойства

Основные характеристики для формы с числом испытаний (X):

• Математическое ожидание: E[X] = 1/p.
• Дисперсия: D[X] = q / p².
• Среднеквадратическое отклонение: σ = √q / p.
• Мода: 1 (наиболее вероятно получить успех с первого испытания).
• Производящая функция: G(z) = pz / (1 − qz).

Для формы с числом неудач (Y) математическое ожидание равно q/p, а дисперсия совпадает и равна q/p².

Ключевое свойство — отсутствие памяти (марковское свойство): для любых натуральных m и n выполняется

P(X > m + n | X > m) = P(X > n).

Это означает, что знание о том, что успеха не было в течение m испытаний, не меняет распределения числа оставшихся испытаний. Среди дискретных распределений этим свойством обладает только геометрическое (среди непрерывных аналогом является показательное распределение).

Функция распределения имеет вид:

F(k) = P(X ≤ k) = 1 − q^k.

¶Связь с другими распределениями

• Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения при числе успехов, равном единице.
• Сумма нескольких независимых геометрических случайных величин с одинаковым параметром p подчиняется отрицательному биномиальному распределению.
• В непрерывном пределе при малых p геометрическое распределение приближается к показательным распределением.
• Если число испытаний ограничено сверху, распределение переходит в усечённое геометрическое.

¶Оценка параметра

При наличии выборки из n независимых наблюдений x₁, …, xₙ оценка максимального правдоподобия параметра p для формы с числом испытаний равна:

p̂ = n / Σxᵢ,

то есть величина, обратная выборочному среднему. Для формы с числом неудач оценка имеет вид p̂ = n / (n + Σyᵢ). Метод моментов даёт тот же результат.

¶Применение

Геометрическое распределение используется в задачах, где важно оценить время до первого события:

• Контроль качества: число изделий, проверенных до обнаружения первого бракованного.
• Надёжность: число циклов работы устройства до первого отказа (в дискретной модели).
• Теория массового обслуживания: количество заявок до первого успешного обслуживания.
• Биология и медицина: число попыток до наступления определённого эффекта.
• Азартные игры и статистическое моделирование: анализ серий испытаний с фиксированной вероятностью.

В инженерной практике геометрическая модель применяется при планировании испытаний на надёжность и в задачах выборочного контроля, где партии изделий проверяются последовательно.

¶Пример

Пусть вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна p = 0,2. Тогда:

• вероятность попасть с первого выстрела: P(X = 1) = 0,2;
• вероятность попасть ровно со второго: P(X = 2) = 0,8 · 0,2 = 0,16;
• вероятность попасть ровно с третьего: P(X = 3) = 0,8² · 0,2 = 0,128.

Математическое ожидание числа выстрелов до первого попадания: E[X] = 1 / 0,2 = 5. Дисперсия: D[X] = 0,8 / 0,04 = 20.

¶Историческая справка

Понятие восходит к ранним работам по теории вероятностей XVII–XVIII веков, связанным с анализом азартных игр. Систематическое описание распределения и его свойств, включая отсутствие памяти, сложилось в рамках классической теории вероятностей. В российской научной традиции геометрическое распределение рассматривается в курсах теории вероятностей, восходящих к работам математиков петербургской школы.

¶Критика и ограничения

Модель предполагает независимость испытаний и постоянство вероятности успеха, что не всегда выполняется на практике. В реальных задачах вероятность исхода может меняться со временем или зависеть от предыдущих попыток, что требует применения более сложных моделей, например распределения с переменным параметром или марковских цепей. Кроме того, геометрическое распределение неограниченно по числу испытаний, тогда как в прикладных задачах число попыток обычно конечно.

Источники: учебники по теории вероятностей, классические работы по дискретным распределениям, справочные материалы по математической статистике.