Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана — это функция комплексного переменного, определяемая как сумма бесконечного ряда, и являющаяся одним из центральных объектов аналитической теории чисел и комплексного анализа. Она обобщает классический ряд натуральных чисел и тесно связана с распределением простых чисел, а также с гипотезой Римана, которая считается одной из важнейших нерешённых математических проблем.

Определение

Дзета-функция Римана, обозначаемая греческой буквой ζ (дзета), для комплексного числа \( s \) с действительной частью \( \Re(s) > 1 \) определяется как сумма абсолютно сходящегося ряда:

\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \]

Здесь \( s = \sigma + it \), где \( \sigma \) и \( t \) — действительные числа, а \( i \) — мнимая единица. При \( \sigma > 1 \) ряд сходится и задаёт аналитическую функцию. Благодаря аналитическому продолжению, дзета-функция может быть однозначно продолжена на всю комплексную плоскость, за исключением точки \( s = 1 \), где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1.

История

Ранние исследования

Первые шаги в изучении сумм обратных степеней натуральных чисел были сделаны ещё в XVII—XVIII веках. Швейцарский математик Леонард Эйлер в 1735 году решил так называемую Базельскую задачу, доказав, что сумма обратных квадратов равна \( \pi^2/6 \):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

Эйлер также нашёл значения для чётных положительных аргументов, выразив их через числа Бернулли, и впервые установил связь между дзета-функцией и простыми числами, записав тождество:

\[ \zeta(s) = \prod_{p \text{ простое}} \frac{1}{1 - p^{-s}} \]

Это произведение, известное как произведение Эйлера, сходится при \( \Re(s) > 1 \).

Работы Римана

В 1859 году немецкий математик Бернхард Риман опубликовал мемуар «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», который стал основополагающим для всей современной теории дзета-функции. Риман ввёл аналитическое продолжение функции на всю комплексную плоскость, используя функциональное уравнение:

\[ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \]

где \( \Gamma \) — гамма-функция. Это уравнение связывает значения дзета-функции в точках \( s \) и \( 1-s \) и позволило изучать её свойства в левой полуплоскости. Риман также выдвинул знаменитую гипотезу, согласно которой все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой \( \Re(s) = 1/2 \).

Свойства

Аналитическое продолжение

Дзета-функция Римана является мероморфной функцией на всей комплексной плоскости. Единственной особой точкой является \( s = 1 \), где она имеет простой полюс. Аналитическое продолжение может быть выполнено различными способами, например, с помощью функционального уравнения или через интегральное представление.

Функциональное уравнение

Функциональное уравнение, полученное Риманом, имеет вид:

\[ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \]

Оно симметрично относительно замены \( s \) на \( 1-s \). Из него следует, что если \( s \) — нетривиальный нуль дзета-функции, то и \( 1-s \) также является нулём.

Значения в целых точках

Значения дзета-функции в чётных положительных целых числах выражаются через числа Бернулли:

\[ \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2 (2n)!} \]

Например, \( \zeta(2) = \pi^2/6 \), \( \zeta(4) = \pi^4/90 \). Для нечётных положительных чисел (\( \zeta(3), \zeta(5), \dots \)) простых замкнутых формул не найдено; известно, что \( \zeta(3) \) иррационально (доказано Роже Апери в 1978 году).

При отрицательных целых аргументах дзета-функция принимает рациональные значения:

\[ \zeta(-n) = -\frac{B_{n+1}}{n+1} \]

где \( B_{n+1} \) — числа Бернулли. В частности, \( \zeta(0) = -1/2 \), \( \zeta(-1) = -1/12 \).

Нули дзета-функции

Тривиальные нули

Из функционального уравнения и свойств гамма-функции следует, что дзета-функция обращается в нуль в точках \( s = -2, -4, -6, \dots \). Эти нули называются тривиальными.

Нетривиальные нули

Все остальные нули дзета-функции лежат в критической полосе \( 0 < \Re(s) < 1 \). Они называются нетривиальными. Риман предположил, что все нетривиальные нули имеют действительную часть, равную \( 1/2 \), то есть лежат на критической прямой. Это предположение составляет суть гипотезы Римана, которая до сих пор не доказана и не опровергнута.

На сегодняшний день с помощью компьютерных вычислений проверены миллиарды нетривиальных нулей, и все они лежат на критической прямой. Однако строгого доказательства для всех нулей не существует. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия» Математического института Клэя, за решение которых объявлена премия в 1 миллион долларов США.

Связь с простыми числами

Произведение Эйлера

Тождество Эйлера устанавливает фундаментальную связь между дзета-функцией и простыми числами:

\[ \zeta(s) = \prod_{p \text{ простое}} \frac{1}{1 - p^{-s}}, \quad \Re(s) > 1 \]

Это произведение показывает, что дзета-функция кодирует информацию о распределении простых чисел.

Формула Римана — фон Мангольдта

Риман вывел точную формулу для количества простых чисел, не превышающих \( x \), выражающуюся через нули дзета-функции. Эта формула, позже уточнённая Хансом фон Мангольдтом, имеет вид:

\[ \psi(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \frac{1}{2} \ln(1 - x^{-2}) \]

где \( \psi(x) \) — функция Чебышёва, а сумма берётся по всем нетривиальным нулям \( \rho \) дзета-функции. Эта формула показывает, что распределение простых чисел тесно связано с положением нулей.

Применение

Теория чисел

Дзета-функция Римана является основным инструментом аналитической теории чисел. С её помощью доказываются теоремы о распределении простых чисел, например, асимптотический закон распределения простых чисел:

\[ \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} \]

где \( \pi(x) \) — количество простых чисел, не превышающих \( x \). Более точные оценки, включая остаточные члены, зависят от гипотезы Римана.

Физика

Дзета-функция находит применение в квантовой теории поля, статистической механике и теории хаоса. В частности, она используется для регуляризации расходящихся сумм в квантовой теории поля (дзета-регуляризация) и в теории динамических систем для изучения спектральных свойств.

Криптография

Хотя дзета-функция напрямую не используется в криптографии, гипотеза Римана имеет косвенное значение для оценки сложности некоторых алгоритмов, связанных с простыми числами, например, тестов на простоту.

Вариации и обобщения

Дзета-функция Дедекинда

Обобщение дзета-функции Римана на числовые поля, называемое дзета-функцией Дедекинда, определяется через сумму по идеалам кольца целых алгебраических чисел. Она также удовлетворяет функциональному уравнению и связана с распределением простых идеалов.

Дзета-функция Гурвица

Дзета-функция Гурвица определяется как:

\[ \zeta(s, a) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n + a)^s} \]

где \( a \) — фиксированное положительное число. При \( a = 1 \) она совпадает с дзета-функцией Римана.

L-функции Дирихле

L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции на характеры Дирихле и играют важную роль в теории чисел, в частности, в доказательстве теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях.

Интересные факты

• В 1914 году английский математик Годфри Харолд Харди доказал, что на критической прямой существует бесконечно много нетривиальных нулей.
• В 2004 году французский математик Александр Гротендик, один из величайших математиков XX века, отказался от премии Крафорда за свои работы по дзета-функциям в алгебраической геометрии, сославшись на этические соображения.
• Значение \( \zeta(-1) = -1/12 \) иногда используется в физике при регуляризации расходящихся сумм, что породило популярный миф о «сумме всех натуральных чисел, равной -1/12», хотя в обычном смысле ряд расходится.

Источники

• Риман Б. «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (1859).
• Титчмарш Э. Ч. «Теория дзета-функции Римана» (1951).
• Edwards H. M. «Riemann's Zeta Function» (1974).
• Конягин С. В., Смирнов С. В. «Дзета-функция Римана» (2005).