Группы Стейнберга

Группы Стейнберга — это фундаментальные алгебраические структуры, возникающие в теории алгебраических групп, алгебраической K-теории и теории групп. Они представляют собой универсальные группы, порождённые элементарными матрицами (или их аналогами) над кольцами, и играют ключевую роль в изучении линейных групп, в частности, в описании их нормальных подгрупп и вычислении K-функторов.

История

Группы Стейнберга были введены американским математиком Робертом Стейнбергом (Robert Steinberg) в 1960-х годах. Первоначально они возникли в контексте теории алгебраических групп над полями, где Стейнберг изучал универсальные накрытия полупростых алгебраических групп. В 1962 году он опубликовал работу «Générateurs, relations et revêtements de groupes algébriques», в которой заложил основы теории.

Впоследствии, в 1970-х годах, Джон Милнор (John Milnor) и другие математики применили группы Стейнберга в алгебраической K-теории. Оказалось, что вторая группа алгебраической K-теории (K₂) кольца может быть определена как ядро гомоморфизма из группы Стейнберга в соответствующую элементарную группу. Это открытие связало группы Стейнберга с важнейшими инвариантами колец и полей.

Определение и основные конструкции

Элементарные матрицы

Пусть \( R \) — ассоциативное кольцо с единицей. Для \( n \ge 3 \) и \( i \neq j \) (где \( 1 \le i, j \le n \)) определим элементарную матрицу \( e_{ij}(r) \) (\( r \in R \)) как матрицу, которая отличается от единичной матрицы \( I_n \) только элементом \( r \) на позиции \( (i, j) \). Такие матрицы называются элементарными трансвекциями.

Группа, порождённая всеми элементарными матрицами над кольцом \( R \), обозначается \( E_n(R) \) и называется элементарной группой. Она является подгруппой полной линейной группы \( GL_n(R) \).

Группа Стейнберга \( St_n(R) \)

Группа Стейнберга \( St_n(R) \) определяется как группа, заданная образующими \( x_{ij}(r) \) (для \( i \neq j \), \( r \in R \)) и следующими соотношениями:

Аддитивность: \( x_{ij}(r) x_{ij}(s) = x_{ij}(r+s) \).
Соотношение Стейнберга: для \( i \neq j \), \( k \neq l \), и если \( j \neq k \) и \( i \neq l \), то

\[ [x_{ij}(r), x_{kl}(s)] = 1, \] где \([a,b] = a^{-1}b^{-1}ab\) — коммутатор.

Соотношение для случая \( j = k \):

\[ [x_{ij}(r), x_{jl}(s)] = x_{il}(rs). \]

Существует канонический гомоморфизм \[ \phi_n: St_n(R) \to E_n(R), \] отображающий образующую \( x_{ij}(r) \) в элементарную матрицу \( e_{ij}(r) \). Этот гомоморфизм сюръективен.

Стабильная группа Стейнберга \( St(R) \)

При \( n \to \infty \) можно определить стабильную группу Стейнберга \( St(R) \) как прямой предел групп \( St_n(R) \) относительно естественных вложений. Аналогично определяется стабильная элементарная группа \( E(R) \). Стабильная группа Стейнберга является центральным расширением группы \( E(R) \).

Связь с алгебраической K-теорией

Вторая группа K-теории (\( K_2 \))

В алгебраической K-теории группа \( K_2(R) \) определяется как ядро гомоморфизма \( \phi: St(R) \to E(R) \): \[ K_2(R) = \ker(\phi). \] Таким образом, \( K_2(R) \) — это центральная подгруппа группы \( St(R) \), и имеет место точная последовательность: \[ 1 \to K_2(R) \to St(R) \to E(R) \to 1. \]

Для полей \( F \) группа \( K_2(F) \) тесно связана с мультипликативной группой поля и символом Стейнберга. В частности, \( K_2(F) \) изоморфна фактору группы \( F^\times \otimes_{\mathbb{Z}} F^\times \) по подгруппе, порождённой элементами \( a \otimes (1-a) \) для \( a \neq 0,1 \).

Первая группа K-теории (\( K_1 \))

Первая группа \( K_1(R) \) определяется как фактор \( GL(R) / E(R) \), где \( GL(R) \) — стабильная общая линейная группа. Группы Стейнберга непосредственно не участвуют в определении \( K_1 \), но используются для изучения её свойств.

Свойства и приложения

Универсальное центральное расширение

Группа Стейнберга \( St_n(R) \) (при \( n \ge 5 \)) является универсальным центральным расширением группы \( E_n(R) \). Это означает, что любое центральное расширение \( E_n(R) \) пропускается через \( St_n(R) \). Данное свойство критически важно для теории алгебраических K-теорий и для изучения нормальных подгрупп линейных групп.

Нормальные подгруппы

Группы Стейнберга используются для описания нормальных подгрупп элементарных групп. В частности, известно, что при определённых условиях на кольцо (например, для коммутативных колец с конечной размерностью Крулля) любая нормальная подгруппа \( E_n(R) \) (при \( n \ge 3 \)) является либо центральной, либо содержит подгруппу, изоморфную \( E_n(R) \) для некоторого идеала. Этот результат известен как теорема о нормальности и опирается на свойства групп Стейнберга.

Применение в теории алгебраических групп

В теории алгебраических групп группы Стейнберга возникают как универсальные накрытия для групп типа \( SL_n \) и других классических групп. Например, группа \( St_n(R) \) является универсальным накрытием группы \( SL_n(R) \) в категории групп, если \( R \) — поле. Это позволяет изучать когомологии и представления таких групп.

Вычисления \( K_2 \) для конкретных колец

Группы \( K_2 \) вычислены для многих классов колец:

Для поля \( \mathbb{Q} \) (рациональных чисел) \( K_2(\mathbb{Q}) \) изоморфна прямой сумме \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) и бесконечной циклической группы.
Для конечного поля \( \mathbb{F}_q \) \( K_2(\mathbb{F}_q) = 0 \).
Для кольца целых чисел \( \mathbb{Z} \) \( K_2(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \).

Примеры

Группа Стейнберга для кольца целых чисел

Рассмотрим \( R = \mathbb{Z} \). Группа \( St_3(\mathbb{Z}) \) порождается образующими \( x_{ij}(1) \) и их обратными. Она является бесконечной группой, и её ядро \( K_2(\mathbb{Z}) \) состоит из двух элементов: единицы и элемента, соответствующего символу Стейнберга \( \{-1, -1\} \). Этот элемент имеет порядок 2.

Группа Стейнберга для поля

Для поля \( F \) группа \( St_n(F) \) при \( n \ge 3 \) является центральным расширением группы \( SL_n(F) \). Её центр изоморфен группе корней из единицы поля \( F \). Например, для \( F = \mathbb{C} \) (комплексные числа) центр \( St_n(\mathbb{C}) \) изоморфен \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \), а для \( F = \mathbb{R} \) (вещественные числа) — изоморфен \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) при чётном \( n \).

Вариации и обобщения