Нормальная подгруппа

Нормальная подгруппа — это подгруппа группы, которая является инвариантной относительно действия группы на себя внутренними автоморфизмами. Иными словами, подгруппа \(N\) группы \(G\) называется нормальной (или инвариантной), если для любого элемента \(g\) группы \(G\) и любого элемента \(n\) из \(N\) произведение \(gng^{-1}\) также принадлежит \(N\). Понятие нормальной подгруппы является фундаментальным в теории групп, поскольку оно позволяет строить факторгруппу — новую группу, элементами которой являются смежные классы по нормальной подгруппе. Нормальные подгруппы играют ключевую роль в изучении структуры групп, в частности, в классификации конечных простых групп и в теории разрешимых и нильпотентных групп.

Определение и обозначения

Формально, подгруппа \(N\) группы \(G\) называется нормальной, если выполняется условие: \[ \forall g \in G, \forall n \in N: gng^{-1} \in N. \] Это условие эквивалентно тому, что левый и правый смежные классы по подгруппе \(N\) совпадают для любого элемента \(g\): \[ gN = Ng. \] Для обозначения нормальности подгруппы используется символ \(N \triangleleft G\) (или \(N \trianglelefteq G\), если допускается случай \(N = G\)). Если \(N\) — нормальная подгруппа, то говорят, что \(N\) — нормальный делитель группы \(G\).

Эквивалентные определения

Существует несколько равносильных способов определить нормальную подгруппу:

1. Инвариантность относительно сопряжений: \(gNg^{-1} = N\) для всех \(g \in G\).
2. Совпадение смежных классов: \(gN = Ng\) для всех \(g \in G\).
3. Замкнутость относительно коммутаторов: \([G, N] \subseteq N\), где \([G, N]\) — подгруппа, порождённая коммутаторами \([g, n] = gng^{-1}n^{-1}\).
4. Ядро гомоморфизма: Подгруппа \(N\) является ядром некоторого гомоморфизма из \(G\) в другую группу.

Примеры

Тривиальные примеры

• Единичная подгруппа \(\{e\}\) (где \(e\) — нейтральный элемент группы) всегда является нормальной подгруппой, так как \(geg^{-1} = e\).
• Сама группа \(G\) является нормальной подгруппой в себе.
• Центр группы \(Z(G) = \{z \in G \mid zg = gz \text{ для всех } g \in G\}\) — нормальная подгруппа, так как элементы центра коммутируют со всеми элементами группы.

Конкретные группы

• В абелевых группах все подгруппы являются нормальными, так как \(gng^{-1} = n\) для любых \(g\) и \(n\).
• В симметрической группе \(S_3\) (группа перестановок трёх элементов) знакопеременная подгруппа \(A_3\) (состоящая из чётных перестановок) является нормальной, так как она имеет индекс 2. Подгруппа, порождённая транспозицией \((12)\), не является нормальной, поскольку, например, \((13)(12)(13)^{-1} = (23) \notin \{(12), e\}\).
• В группе диэдра \(D_4\) (симметрии квадрата) подгруппа вращений является нормальной (индекс 2), а подгруппа, порождённая отражением относительно одной оси, — нет.

Свойства

Основные свойства

1. Пересечение нормальных подгрупп: Пересечение любого семейства нормальных подгрупп группы \(G\) является нормальной подгруппой.
2. Произведение нормальных подгрупп: Если \(N\) и \(M\) — нормальные подгруппы \(G\), то их произведение \(NM = \{nm \mid n \in N, m \in M\}\) также является нормальной подгруппой.
3. Подгруппа, содержащая нормальную подгруппу: Если \(N \triangleleft G\) и \(H\) — подгруппа \(G\), содержащая \(N\), то \(N \triangleleft H\).
4. Образ и прообраз при гомоморфизме: Если \(\varphi: G \to H\) — гомоморфизм групп, то:

• Ядро \(\ker \varphi\) — нормальная подгруппа в \(G\).
• Если \(N \triangleleft G\), то образ \(\varphi(N)\) — нормальная подгруппа в \(\varphi(G)\).
• Если \(M \triangleleft H\), то полный прообраз \(\varphi^{-1}(M)\) — нормальная подгруппа в \(G\).

Связь с факторгруппой

Если \(N\) — нормальная подгруппа группы \(G\), то множество смежных классов \(G/N = \{gN \mid g \in G\}\) образует группу относительно операции \((gN)(hN) = (gh)N\). Эта группа называется факторгруппой \(G\) по \(N\). Операция корректно определена именно благодаря нормальности: \(gN \cdot hN = g(Nh)N = g(hN)N = (gh)N\). Факторгруппа является ключевым инструментом для изучения структуры группы: она позволяет «сжимать» информацию о \(G\), отождествляя элементы, различающиеся на элементы из \(N\).

Теоремы о гомоморфизмах

Нормальные подгруппы тесно связаны с гомоморфизмами групп. Основные теоремы:

1. Первая теорема о гомоморфизме: Если \(\varphi: G \to H\) — гомоморфизм, то \(G/\ker \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi\).
2. Вторая теорема (теорема о соответствии): Если \(N \triangleleft G\), то существует биективное соответствие между подгруппами \(G\), содержащими \(N\), и подгруппами факторгруппы \(G/N\). При этом нормальность подгрупп сохраняется.
3. Третья теорема (теорема об изоморфизме): Если \(N \triangleleft G\) и \(H\) — подгруппа \(G\), то \(H/(H \cap N) \cong HN/N\). Если дополнительно \(N \triangleleft G\) и \(N \subseteq H\), то \(G/H \cong (G/N)/(H/N)\).

Виды и классификация

Максимальные нормальные подгруппы

Нормальная подгруппа \(N\) группы \(G\) называется максимальной нормальной подгруппой, если не существует нормальной подгруппы \(M\) такой, что \(N \subsetneq M \subsetneq G\). Факторгруппа \(G/N\) в этом случае является простой группой (не имеет нетривиальных нормальных подгрупп). Максимальные нормальные подгруппы играют центральную роль в теории композиционных рядов и классификации конечных групп.

Минимальные нормальные подгруппы

Нормальная подгруппа \(N \neq \{e\}\) называется минимальной нормальной подгруппой, если она не содержит нетривиальных нормальных подгрупп группы \(G\). В конечных группах минимальные нормальные подгруппы являются прямыми произведениями изоморфных простых групп.

Характеристические и вполне характеристические подгруппы

Подгруппа \(H\) группы \(G\) называется характеристической, если она инвариантна относительно всех автоморфизмов группы \(G\) (не только внутренних). Характеристическая подгруппа всегда является нормальной, но обратное неверно. Например, центр группы \(Z(G)\) — характеристическая подгруппа, а знакопеременная подгруппа \(A_n\) в \(S_n\) при \(n \neq 4\) — нормальная, но не характеристическая (существуют внешние автоморфизмы, переводящие \(A_n\) в себя, но не все автоморфизмы \(S_n\) сохраняют \(A_n\) как множество). Подгруппа называется вполне характеристической, если она инвариантна относительно всех эндоморфизмов группы.

Значение в теории групп

Нормальные подгруппы являются одним из центральных понятий теории групп. Они позволяют:

• Строить факторгруппы, что даёт возможность редуцировать изучение сложных групп к более простым.
• Анализировать структуру группы через композиционные ряды и ряды нормальных подгрупп (например, центральный ряд, производный ряд).
• Классифицировать конечные простые группы — одна из крупнейших математических задач XX века, где нормальные подгруппы играют ключевую роль в определении простоты.
• Изучать разрешимые и нильпотентные группы через свойства их нормальных подгрупп (например, разрешимость группы эквивалентна существованию ряда нормальных подгрупп с абелевыми факторами).

История

Понятие нормальной подгруппы впервые появилось в работах Эвариста Галуа около 1830 года в контексте теории разрешимости алгебраических уравнений. Галуа показал, что для разрешимости уравнения в радикалах необходимо, чтобы группа Галуа имела ряд нормальных подгрупп с абелевыми факторами (так называемый «ряд Галуа»). Термин «нормальная подгруппа» был введён Камиллом Жорданом в его «Трактате о подстановках и алгебраических уравнениях» (1870). Дальнейшее развитие понятие получило в работах Феликса Клейна, Софуса Ли и других математиков XIX—XX веков, что привело к формированию современной теории групп.

Источники

1. Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967.
2. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
3. Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.
4. Dummit D. S., Foote R. M. Abstract Algebra. — 3rd ed. — Wiley, 2004.
5. Hall M. The Theory of Groups. — Macmillan, 1959.