Группы Шевалле

Группа Шевалле — это тип линейной алгебраической группы над произвольным полем, ассоциированный с системой корней и построенный по определённой универсальной конструкции, предложенной французским математиком Клодом Шевалле в 1955 году. Группы Шевалле обобщают классические группы Ли (такие как специальные линейные, ортогональные и симплектические группы) на случай произвольных полей, включая конечные поля, и являются основным строительным блоком для большинства конечных простых групп — так называемых групп лиева типа.

История

Предпосылки

В первой половине XX века была завершена классификация конечных простых групп, которая выявила несколько бесконечных семейств: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы степени \(n \geq 5\) и группы лиева типа. Последние долгое время были известны лишь для конкретных полей (например, проективные специальные линейные группы над конечными полями \(\mathbb{F}_q\)). Однако единой теории, объединяющей все такие группы, не существовало.

Работы Шевалле

В 1955 году Клод Шевалле опубликовал статью «Sur certains groupes simples» (О некоторых простых группах), в которой предложил конструкцию, позволяющую для любой системы корней (типов \(A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2\)) и любого поля \(k\) построить группу, называемую теперь группой Шевалле \(G(k)\). Эта конструкция использовала теорию алгебр Ли и их представлений, но не требовала существования полной матричной реализации. Шевалле показал, что полученные группы являются простыми (за исключением нескольких малых случаев) и что все классические группы лиева типа над конечными полями являются частными случаями его конструкции.

Развитие теории

Позднее, в 1960-х годах, Роберт Стейнберг, Жак Титс и другие математики обобщили конструкцию Шевалле, добавив скрученные варианты (группы Стейнберга, такие как \(^2A_n, ^2D_n, ^3D_4, ^2E_6\)), а также исключительные группы (\(E_6, E_7, E_8, F_4, G_2\)). В 1968 году Титс сформулировал аксиоматическое определение групп лиева типа через систему корней и поле, что привело к понятию группы Титса или группы Шевалле — Титса. Эти работы завершили классификацию конечных простых групп, окончательно установленную в 1980-х годах.

Определение и конструкция

Система корней

Пусть \(\Phi\) — приведённая неразложимая система корней в евклидовом пространстве с базисом \(\Delta = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}\). Каждому корню \(\alpha \in \Phi\) сопоставляется одномерное корневое подпространство \(\mathfrak{g}_\alpha\) в комплексной алгебре Ли \(\mathfrak{g}\). Группа Шевалле строится как группа автоморфизмов некоторой алгебры Ли над произвольным полем \(k\), порождённая элементарными корневыми унипотентами.

Элементарные корневые подгруппы

Для каждого корня \(\alpha\) и каждого элемента \(t \in k\) определяется элемент \(x_\alpha(t)\) — аналог элементарной матрицы \(E_{ij}(t)\) из линейной группы. Эти элементы удовлетворяют соотношениям, вытекающим из коммутаторной формулы Шевалле: \[ [x_\alpha(s), x_\beta(t)] = \prod_{i,j>0, i\alpha+j\beta \in \Phi} x_{i\alpha+j\beta}(c_{ij} s^i t^j), \] где \(c_{ij}\) — целые числа, зависящие только от системы корней. Группа \(G(k)\) порождается всеми \(x_\alpha(t)\) для \(\alpha \in \Phi, t \in k\).

Универсальная группа Шевалле

Полученная группа называется универсальной группой Шевалле типа \(\Phi\) над полем \(k\). Она является центральным расширением более простой адаптированной группы Шевалле, которая в случае конечного поля совпадает с простой группой (за исключением малых исключений). Например, для типа \(A_n\) универсальная группа — это \(SL_{n+1}(k)\), а адаптированная — \(PSL_{n+1}(k)\).

Классификация

Типы систем корней

Группы Шевалле классифицируются по типам систем корней:

• Классические типы:
• \(A_n\) (\(n \geq 1\)) — специальная линейная группа \(SL_{n+1}(k)\).
• \(B_n\) (\(n \geq 2\)) — ортогональная группа нечётной размерности \(SO_{2n+1}(k)\).
• \(C_n\) (\(n \geq 3\)) — симплектическая группа \(Sp_{2n}(k)\).
• \(D_n\) (\(n \geq 4\)) — ортогональная группа чётной размерности \(SO_{2n}(k)\).
• Исключительные типы:
• \(E_6, E_7, E_8\) — группы размерностей 78, 133, 248 соответственно.
• \(F_4\) — группа размерности 52.
• \(G_2\) — группа размерности 14.

Скрученные группы

Стейнберг ввёл скрученные группы, соответствующие автоморфизмам диаграммы Дынкина и поля:

• \(^2A_n\) — унитарные группы \(SU_{n+1}(k)\).
• \(^2D_n\) — ортогональные группы с квадратичной формой Витта.
• \(^3D_4\) — группы Стейнберга над полями характеристики 2.
• \(^2E_6\) — скрученная исключительная группа.
• \(^2B_2, ^2F_4, ^2G_2\) — группы Судзуки и Ри, существующие только в характеристике 2 или 3.

Свойства

Простота

Для конечного поля \(k = \mathbb{F}_q\) группа Шевалле \(G(\mathbb{F}_q)\) является простой, за исключением следующих случаев:

• \(A_1(2)\) — изоморфна симметрической группе \(S_3\) (не проста).
• \(A_1(3)\) — изоморфна знакопеременной группе \(A_4\) (не проста).
• \(B_2(2)\) — изоморфна симметрической группе \(S_6\) (не проста).
• \(G_2(2)\) — не проста, её коммутант — простая группа порядка 6048.

Во всех остальных случаях группа проста и неабелева.

Порядок

Порядок конечной группы Шевалле типа \(\Phi\) над \(\mathbb{F}_q\) вычисляется по формуле: \[ |G(\mathbb{F}_q)| = q^{N} \prod_{i=1}^n (q^{d_i} - 1), \] где \(N\) — число положительных корней, \(d_i\) — степени инвариантов алгебры Ли (числа Кокстера). Например, для \(A_n\): \[ |SL_{n+1}(\mathbb{F}_q)| = q^{n(n+1)/2} \prod_{i=1}^n (q^{i+1} - 1). \]

Представления

Группы Шевалле допускают богатую теорию представлений. Над полем характеристики 0 их неприводимые представления классифицируются старшими весами (теория Картана — Вейля). Над полем характеристики \(p\) (в том числе конечным) действует теория модулярных представлений, развитая Стейнбергом и Люстигом. В частности, представление Стейнберга имеет размерность \(p^N\) и является проективным.

Применение

Конечные простые группы

Группы Шевалле составляют основное семейство в классификации конечных простых групп. Все неабелевы конечные простые группы, кроме циклических, знакопеременных и 26 спорадических групп, являются группами лиева типа, то есть группами Шевалле или их скрученными вариантами.

Теория кодирования

Группы Шевалле используются в теории кодирования для построения кодов, исправляющих ошибки, и в криптографии. Например, группа \(SL_2(\mathbb{F}_q)\) применяется в криптосистемах на эллиптических кривых.

Физика

В математической физике группы Шевалле (особенно исключительные) возникают в теории струн и калибровочных теориях. Группа \(E_8\) играет ключевую роль в M-теории.

Интересные факты

• Конструкция Шевалле позволяет строить группы не только над полями, но и над кольцами (например, над кольцом целых чисел \(\mathbb{Z}\)), что приводит к группам Шевалле — Демазюра.
• Группа \(G_2\) является группой автоморфизмов октав (алгебры Кэли) и связана с неассоциативными алгебрами.
• В 1960-х годах Джон Томпсон и Уолтер Фейт доказали теорему о разрешимости групп нечётного порядка, используя свойства групп Шевалле.

Критика и ограничения

Конструкция Шевалле не охватывает все возможные простые группы над конечными полями. В частности, существуют группы Ри (\(^2G_2\)) и группы Судзуки (\(^2B_2\)), которые не являются группами Шевалле в строгом смысле, но являются их скрученными аналогами. Кроме того, в характеристике 2 и 3 некоторые группы Шевалле имеют изоморфизмы с другими семействами (например, \(B_2(2) \cong S_6\)), что требует осторожности при классификации.

Источники

• Chevalley C. Sur certains groupes simples // Tohoku Mathematical Journal. — 1955. — Vol. 7, no. 1–2. — P. 14–66.
• Carter R. W. Simple Groups of Lie Type. — Wiley, 1972. — ISBN 978-0-471-13735-7.
• Steinberg R. Lectures on Chevalley Groups. — Yale University, 1967.
• Gorenstein D. Finite Simple Groups: An Introduction to Their Classification. — Plenum Press, 1982. — ISBN 978-0-306-40779-6.
• Хамфри Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. — М.: МЦНМО, 2003. — ISBN 5-94057-106-9.