Инстантоны в калибровочных теориях¶

Инстантоны — это классические решения уравнений движения в калибровочных теориях поля, которые описывают туннелирование между различными вакуумными состояниями и локализованы как во времени, так и в пространстве. В отличие от солитонов, которые являются статическими и устойчивыми образованиями, инстантоны представляют собой конечные по действию конфигурации полей в евклидовом пространстве-времени (то есть после формального перехода к мнимому времени). Название происходит от английского instanton («мгновенный») и отражает их локализацию во времени.

¶Математическая основа

Инстантоны возникают в неабелевых калибровочных теориях, таких как квантовая хромодинамика (КХД), описывающая сильное взаимодействие. Основой для их существования является нетривиальная топология калибровочных полей. Вакуум калибровочной теории не является единственным: существует бесконечное множество топологически различных вакуумных состояний, характеризуемых целым числом — топологическим зарядом (или винд-числом) \( Q \in \mathbb{Z} \).

Классическое действие инстантона в теории с группой \( SU(2) \) (и, соответственно, для \( SU(N) \) после вложения) имеет вид:

\[ S = \frac{8\pi^2}{g^2} |Q|, \]

где \( g \) — калибровочная константа связи. Это действие конечно, что делает инстантоны важными для квантовой теории: они дают вклад в функциональный интеграл через фактор \( e^{-S} \), который в слабосвязанном режиме экспоненциально подавлен, но становится существенным при сильной связи.

¶Топологическая структура

Инстантоны являются решениями уравнений само-дуальности (или анти-само-дуальности) для напряжённости поля:

\[ F_{\mu u} = \pm \widetilde{F}_{\mu u}, \]

где \( \widetilde{F}_{\mu u} = \frac{1}{2}\epsilon_{\mu u\rho\sigma} F^{\rho\sigma} \) — дуальный тензор. Решения с топологическим зарядом \( Q = 1 \) называются BPST-инстантонами (по именам Белавина, Полякова, Шварца и Тюпкина, которые нашли их в 1975 году). Они обладают масштабной инвариантностью: размер инстантона (его радиус) является произвольным параметром.

Пространство всех инстантонов с зарядом \( Q = 1 \) в теории \( SU(2) \) является 5-мерным многообразием (4 параметра положения в пространстве-времени и 1 параметр размера). Для произвольного заряда \( Q \) пространство модулей имеет размерность \( 8Q - 3 \).

¶Роль в квантовой теории поля

¶Нарушение аксиальной симметрии

Наиболее значимым физическим следствием инстантонов является объяснение так называемой \( U(1)_A \)-проблемы в квантовой хромодинамике. Классически лагранжиан КХД инвариантен относительно аксиальных вращений кварковых полей, однако в квантовой теории эта симметрия нарушается аномалией. Инстантоны, обладая нетривиальной топологией, обеспечивают ненулевой вклад в аномалию, что приводит к тому, что масса \( \eta' \)-мезона становится большой (порядка 958 МэВ), что согласуется с экспериментом.

¶Вакуумная структура

Инстантоны приводят к пониманию того, что истинный вакуум калибровочной теории является когерентной суперпозицией топологических вакуумов — так называемым \( \theta \)-вакуумом. Угол \( \theta \) является параметром теории и связан с CP-нарушением. Экспериментальные ограничения на электрический дипольный момент нейтрона накладывают жёсткие ограничения на величину \( \theta \) (\( \theta < 10^{-10} \)), что известно как проблема сильного CP-нарушения.

¶Модель жидкого инстантонного вакуума

В конце 1970-х годов была предложена модель, согласно которой вакуум КХД можно рассматривать как плотную среду инстантонов и антиинстантонов. Эта модель, развитая Е. В. Шуряком и Дж. Шехтером, позволила описать такие явления, как спонтанное нарушение киральной симметрии, механизм конфайнмента и формирование массы адронов. Среднее расстояние между инстантонами в вакууме оценивается примерно в 1 фм, а их средний размер — около 0,3 фм.

¶Применение в других областях

¶Теория суперструн и M-теория

В суперструнных теориях инстантоны обобщаются до D-бран и других не perturbативных объектов. В частности, евклидовы D-инстантоны играют важную роль в вычислении поправок к суперпотенциалу в теориях с \( N = 1 \) суперсимметрией.

¶Конденсированное состояние вещества

Инстантонные решения находят применение в физике конденсированного состояния, в частности, при описании туннелирования в одномерных магнетиках и в теории квантового спина. Они также используются для описания процессов распада метастабильных состояний в квантовой механике (формула Калдейры — Леггетта).

¶Экспериментальные проявления

Прямое экспериментальное наблюдение инстантонов затруднено, однако их косвенные проявления включают:

• Аномальное рождение частиц в процессах с нарушением барионного числа (процессы, запрещённые в стандартной теории возмущений, но разрешённые инстантонными переходами).
• Вклад в структурные функции адронов при глубоко-неупругом рассеянии.
• Эффекты в кварк-глюонной плазме, создаваемой в столкновениях тяжёлых ионов.

¶См. также

• Мероны
• Калибровочная инвариантность
• Топологический заряд
• Квантовая хромодинамика

¶Литература

• Белавин А. А., Поляков А. М., Шварц А. С., Тюпкин Ю. С. Псевдочастичные решения уравнений Янга — Миллса // Письма в ЖЭТФ. — 1975. — Т. 22, № 10. — С. 503–506.
• Шуряк Е. В. Кварк-глюонный вакуум и инстантоны // Успехи физических наук. — 1982. — Т. 136, № 4. — С. 593–620.
• Rajaraman R. Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory. — North-Holland, 1982.
• Vandoren S., van Nieuwenhuizen P. Lectures on instantons. — Utrecht University, 2008.