Инвертирование — это¶

Инвертирование — это операция, заключающаяся в обращении порядка элементов последовательности, знака величины, значения логической переменной или направления процесса. Термин происходит от латинского inversio — «переворот, обращение» и применяется в математике, логике, электронике, программировании, музыке и других областях. В каждом контексте под инвертированием понимается действие, приводящее объект к состоянию, «противоположному» исходному по определённому признаку.

¶Математика

В математике инвертирование имеет несколько значений.

Обращение знака. Инвертирование числа — это замена его знака на противоположный: число a переходит в −a. На числовой прямой соответствующая точка отражается относительно нуля. Инвертирование знака дважды возвращает исходное значение, то есть операция является собственным обратным.

Обращение матрицы. Инвертированная (обратная) матрица A⁻¹ — это матрица, при умножении на которую исходная матрица A даёт единичную матрицу: A·A⁻¹ = E. Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц (определитель отличен от нуля). Нахождение обратной матрицы выполняется методом присоединённой матрицы или методом Гаусса.

Инверсия точки. В геометрии инверсия относительно окружности радиуса R с центром в точке O сопоставляет точку P точке P' так, что OP·OP' = R², а точки P и P' лежат на одном луче, исходящем из O. Инверсия относительно окружности переводит прямые, не проходящие через центр, в окружности и наоборот.

Обращение порядка. Инвертирование последовательности — операция, разворачивающая её в обратном порядке: последовательность (a₁, a₂, …, aₙ) переходит в (aₙ, …, a₂, a₁). В комбинаторике число перестановок, не имеющих неподвижных точек (перестановок без фиксированных элементов), называется числом деранжементов и обозначается !n.

¶Логика и теория множеств

В математической логике инвертирование — это операция отрицания, сопоставляющая высказыванию A высказывание «не A». В булевой алгебре она реализуется как дополнение: значение функции меняется на противоположное (0 ↔ 1). Инвертирование дважды даёт исходное значение: ¬(¬A) = A.

В теории множеств инверсия соответствует дополнению множества относительно универсального множества: элементы, не входившие в исходное множество, становятся элементами дополнения, и наоборот. Законы Де Моргана устанавливают связь между инвертированием и операциями объединения и пересечения: дополнение объединения равно пересечению дополнений.

¶Электроника

В цифровой электронике инвертор (элемент «НЕ», NOT-элемент) — это логический элемент с одним входом и одним выходом, на выходе которого формируется сигнал, инвертированный относительно входного. Логический ноль на входе даёт логическую единицу на выходе и наоборот. Инвертор является базовым элементом цифровых схем и входит в состав любых комбинационных схем.

По технологии реализации различают инверторы на МОП-транзисторах (КМОП-инвертор), биполярных транзисторах (TTL, ECL) и на полевых транзисторах с изолированным затвором. КМОП-инвертор состоит из пары транзисторов — p-канального и n-канального, соединённых последовательно между шинами питания; в статическом состоянии один из транзисторов всегда закрыт, что обеспечивает минимальное энергопотребление.

В аналоговой электронике инвертирующий усилитель — это усилитель, на выходе которого сигнал изменён по фазе на 180° относительно входного. Простейшая реализация — операционный усилитель с отрицательной обратной связью через резистор, где коэффициент усиления определяется отношением сопротивлений.

¶Программирование

В программировании инвертирование выполняется для различных типов данных:

• Битовые операции. Побитовое инвертирование (оператор ~ в языках C, C++, Java, Python) заменяет каждый бит числа на противоположный. Для 32-битного целого числа x результат равен −x−1.
• Логические значения. Оператор ! (в C-подобных языках) или not (в Python) инвертирует булеву переменную.
• Строки и массивы. Инвертирование строки или списка — разворот последовательности символов (элементов) в обратном порядке. В Python это делается срезом [::-1].
• Изображения. Инвертирование изображения (негатив) — замена каждого пикселя на противоположный по яркости: значение v переходит в 255 − v для 8-битного представления.

¶Музыка

В теории музыки инверсия — это вид мелодического движения, при котором интервал между голосами (или нотами) реализуется в противоположном направлении: восходящая терция при инверсии становится нисходящей. Инверсия лежит в основе контрапункта и является одним из принципов сериальной музыки, где тема подвергается инверсии, ретроградному обращению и их сочетаниям.

¶Другие значения

• Инвертирование координат — преобразование, меняющее порядок или направление осей (например, инвертирование оси Y при переходе между экранными и математическими координатами).
• Инвертирование стека — операция в структурах данных, разворачивающая стек.
• Инвертирование управления — в авиамоделировании и промышленной автоматизации — изменение знака управляющего воздействия (например, при инверсии каналов руля).

Источники:

• Курнаев И. А. «Матрицы и определители»
• Носовский А. А., Верещагин А. И. «Алгебра и начала анализа»
• Хоровиц П., Хилл У. «Основы схемотехники»
• Кормен Т. и др. «Алгоритмы: построение и анализ»
• Дубовский В. В. «Теория музыки»