Истинная конъюгата¶

Истинная конъюгата — понятие теории групп, обозначающее класс сопряжённых элементов группы, рассматриваемый как единое целое; в теории Галуа и алгебраической геометрии термин также используется для обозначения конъюгированного поля или расширения, а в теории чисел — для обозначения элементов, связанных операцией конъюгирования в кольце целых чисел алгебраического поля. Понятие играет центральную роль в классификации структур, где элементы не различаются по существу, а различаются лишь «положением» относительно симметрий объекта.

¶Определение и основные свойства

Пусть $G$ — группа, $x \in G$. Множество всех конъюгатов элемента $x$ называется его классом сопряжённости (истинной конъюгатой):

$$\mathrm{Cl}_G(x) = \{g x g^{-1} \mid g \in G\}.$$

Класс сопряжённости всегда содержит сам элемент $x$ (при $g = e$) и является инвариантным относительно сопряжения: если $y \in \mathrm{Cl}_G(x)$, то $\mathrm{Cl}_G(y) = \mathrm{Cl}_G(x)$. Таким образом, множество всех классов сопряжённости образует разбиение группы на непересекающиеся подмножества — так называемое «разбиение по классам сопряжённости».

Ключевые свойства:

• Класс сопряжённости элемента $x$ состоит из всех элементов, «подобных» $x$ через внутренний автоморфизм группы.
• Центр группы $Z(G)$ состоит ровно из тех элементов, чьи классы сопряжённости состоят из одного элемента.
• Класс сопряжённости подгруппы $H \leq G$ — это множество подгрупп вида $gHg^{-1}$; они образуют класс конъюгированных подгрупп.

¶Классическое уравнение конъюгирования

Два элемента $x, y \in G$ называются конъюгированными (истинными конъюгатами), если существует $g \in G$ такое, что $y = gxg^{-1}$. Отношение «быть конъюгированными» является отношением эквивалентности, и его классы эквивалентности — это и есть истинные конъюгаты.

В конечной группе $G$ число классов сопряжённости обозначается $k(G)$ и является одним из важнейших числовых инвариантов группы. Теорема классов (Лагранж) утверждает, что порядок класса сопряжённости $|\mathrm{Cl}_G(x)|$ делит порядок группы $|G|$, причём

$$|\mathrm{Cl}_G(x)| = [G : C_G(x)],$$

где $C_G(x) = \{g \in G \mid gx = xg\}$ — централизатор элемента $x$. Отсюда следует формула классов:

$$|G| = \sum_{i=1}^{k(G)} [G : C_G(x_i)],$$

где суммирование идёт по представителям классов сопряжённости.

¶Конъюгаты в теории Галуа

В теории Галуа термин «конъюгата» имеет самостоятельное значение. Пусть $L/K$ — алгебраическое расширение полей, $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ — группа Галуа. Элементы $G$ действуют на корнях полинома, и корни, связанные действием одного и того же автоморфизма, называются конъюгированными. Поле, порождённое корнем $\alpha$ алгебраического уравнения, и его конъюгированные поля $K(\alpha^{(i)})$ образуют класс конъюгированных полей.

В частности, если $f(x) \in K[x]$ — неприводимый многочлен, а $\alpha$ — его корень, то все корни $f$ в замыкании $K$ являются конъюгатами $\alpha$ над $K$, и минимальный многочлен $\alpha$ над $K$ имеет форму

$$m_\alpha(x) = \prod_{i=1}^{d} (x - \alpha^{(i)}),$$

где $\alpha^{(i)}$ — все конъюгаты $\alpha$.

¶Конъюгаты в теории чисел

В алгебраической теории чисел, если $K$ — алгебраическое поле, $O_K$ — кольцо целых чисел, а $\sigma: K \to \overline{\mathbb{Q}}$ — вложение поля, то элементы $\sigma(\alpha)$ для всех вложений $\sigma$ называются конъюгатами элемента $\alpha \in K$. Норма и след элемента определяются через сумму и произведение всех его конъюгатов:

$$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \prod_\sigma \sigma(\alpha), \quad \mathrm{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \sum_\sigma \sigma(\alpha).$$

¶Применение

Понятие истинной конъюгаты применяется в теории групп (классификация групп по числу классов сопряжённости), в теории Галуа (классификация расширений полей), в алгебраической теории чисел (нормы и следы элементов), в теории представлений (разложение регулярного представления на суммы по классам сопряжённости) и в квантовой механике (конъюгированные переменные).

Источники:

• Курош А. Г. «Курс общей алгебры»
• Ван дер Варден Б. Л. «Алгебра»
• Ленг С. «Алгебра»
• Бурбаки Н. «Общая топология» (главы о топологических группах)
• Капланский И. «Введение в теорию алгебраических структур»