Многочлен в алгебре¶

Многочлен (также полином) — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов, то есть конечную сумму произведений числовых коэффициентов и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Многочлены являются одним из центральных объектов элементарной и высшей алгебры, а также математического анализа, вычислительной математики и ряда прикладных дисциплин. Стандартная запись многочлена от одной переменной x имеет вид aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, где aₙ, …, a₀ — коэффициенты, а n — целое неотрицательное число.

¶Определение и основные понятия

Одночленом называют произведение числового множителя (коэффициента) и переменных в натуральных степенях. Многочлен — сумма одночленов, каждый из которых называется его членом. Наибольшая из степеней входящих одночленов называется степенью многочлена, а коэффициент при старшем члене — старшим коэффициентом. Если старший коэффициент равен единице, многочлен называют приведённым (нормированным).

Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым; его степень не определена (иногда условно считают её равной −∞). Многочлены нулевой степени — это ненулевые константы. Значение многочлена при конкретном значении переменной получают подстановкой этого числа вместо переменной.

Два многочлена считаются равными, если совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Это означает, что многочлен однозначно задаётся своим набором коэффициентов, что позволяет отождествлять многочлены с конечными последовательностями чисел.

¶Действия над многочленами

Над многочленами определены операции сложения, вычитания и умножения, при которых множество многочленов от одной переменной с коэффициентами из данного поля образует коммутативное кольцо. При сложении складываются коэффициенты при одинаковых степенях; при умножении используется распределительный закон, а показатели степеней переменных складываются.

Отдельную роль играет деление с остатком: для любых многочленов P и Q (Q ≠ 0) существуют единственные многочлены S и R такие, что P = Q·S + R, причём степень R меньше степени Q. Это свойство делает кольцо многочленов над полем евклидовым, что обеспечивает работу алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя.

¶Корни и теорема Безу

Число c называется корнем многочлена P(x), если P(c) = 0. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x − c) равен P(c); следовательно, c — корень тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x − c) без остатка. Это позволяет выделять линейные множители и понижать степень.

Основная теорема алгебры утверждает, что всякий многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Отсюда следует, что такой многочлен разлагается в произведение линейных множителей над полем комплексных чисел. Над полем действительных чисел неприводимыми остаются лишь линейные и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.

Число корней с учётом кратности равно степени многочлена. Связь между коэффициентами и корнями описывают формулы Виета: например, для приведённого квадратного многочлена x² + px + q сумма корней равна −p, а произведение — q.

¶Классификация

Многочлены различают по нескольким признакам:

по числу членов: одночлены, двучлены (биномы), трёхчлены (например, квадратный трёхчлен);
по степени: линейные, квадратные, кубические и т. д.;
по числу переменных: от одной, двух и более переменных (многочлены от нескольких переменных);
по коэффициентам: с целыми, рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;
по характеру: однородные (все члены одной степени) и неоднородные.

¶Многочлены от нескольких переменных

Многочлен от нескольких переменных — сумма одночленов вида a·x₁^k₁·x₂^k₂·…·xₘ^kₘ. Степень такого одночлена равна сумме показателей, а степень многочлена — максимуму этих сумм. Многочлены от нескольких переменных лежат в основе алгебраической геометрии: множества их нулей задают алгебраические кривые и поверхности. Пример — уравнение окружности x² + y² = r².

¶Применение

Многочлены широко применяются в математике и её приложениях:

в математическом анализе — как простейшие функции для приближения более сложных (ряды Тейлора, интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона);
в вычислительной математике — для численного интегрирования, решения уравнений, аппроксимации данных;
в инженерии — при описании передаточных функций, характеристик систем, траекторий;
в криптографии и теории кодирования — в схемах на основе полиномиальной арифметики над конечными полями;
в компьютерной графике — при построении кривых Безье и сплайнов.

Многочлены удобны тем, что их легко складывать, умножать, дифференцировать и интегрировать, а значения вычисляются за конечное число арифметических операций (схема Горнера).

¶История

Приёмы решения задач, сводящихся к уравнениям первой и второй степени, известны с древности — в вавилонской, греческой, китайской и индийской математике. Индийские математики, в частности Брахмагупта и Бхаскара, владели методами решения квадратных уравнений. В XVI веке итальянские математики Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Лодовико Феррари нашли формулы для кубических и четвёртых степеней. В 1799 году Карл Фридрих Гаусс доказал основную теорему алгебры. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель в 1824 году показал неразрешимость в радикалах общего уравнения пятой степени, а Эварист Галуа заложил основы теории групп, объяснившей условия разрешимости. В России значительный вклад в теорию многочленов и приближений внесли Пафнутий Чебышёв, создавший теорию наилучшего приближения, и его последователи.

¶Интересные факты

Схема Горнера позволяет вычислять значение многочлена за n умножений и n сложений, что существенно экономит операции.
Многочлен x² + 1 не имеет действительных корней, но имеет два комплексных: i и −i.
Существуют многочлены, принимающие простые значения при целых аргументах, однако доказано, что многочлен, все значения которого простые, невозможен.
Многочлены Чебышёва обладают свойством минимального отклонения от нуля на отрезке и применяются в теории фильтров.

Источники: учебники по алгебре для вузов, справочники по элементарной и высшей математике, энциклопедические издания по математике.